[高校数学]難関大で頻出！「順像法」を用いた領域・軌跡の問題の解き方を解説！

みなさんこんにちは、Yutaです。

今回は、「順像法」について解説していきます。

以前、「逆像法」について説明しましたが、もうひとつの強力なツールである「順像法」を解説します。

軌跡・領域の問題ではどちらの方法でも自由自在に使えるようになっておけば怖いものなしです。

ですので、難関大を目指す方はぜひマスターしてほしいと思います。

今回解説する問題の概要

今回は2015年度に東京大学(理科)で出題された問題を解説します。

$a$を正の実数とする。座標平面上で次の放物線を考える。

$$C:y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}$$

$a$が正の実数全体を動くとき,$C$の通過する領域を図示せよ。

早速、問題を考えていきましょう。

ここで意識したいのは、$C$の変数を何にするかということです。

「順像法」では、

$x$(あるいは$y$)を定数とみて、パラメータを変数として設定し、

$y$の取り得る値の範囲(あるいは$x$の取り得る値の範囲)を調べる

という考え方で通過領域を考えていきます。

今回の問題では、$x$を固定し、$a$を変数としてみてあげることで、$y$の値域を考えます。

ここで、$\displaystyle f(a)=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}(a>0)$とおきます。

さて、$f(a)$を微分すると、$\displaystyle f'(a)=\frac{4(x^2-1)a^2-1}{4a^2}$となります。

ここで、$x$の値で場合分けします。

$x= \pm1$のとき、$\displaystyle f'(a)=-\frac{1}{4a^2}<0$となって、$f(a)$は単調に減少していきます。

さて、

$\displaystyle \lim_{a \to +0}f(a)=\lim_{a \to +0}(a+\frac{1-4a^2}{4a})=\infty$
$\displaystyle \lim_{a \to \infty}f(a)=\lim_{a \to \infty}(a+\frac{1-4a^2}{4a})=\lim_{a \to \infty}\frac{1}{4a}=0$

となることから、$f(a)>0$…①であることが分かります。

$\displaystyle f'(a)=\frac{4(x^2-1)a^2-1}{4a^2}<0$となり、$f(a)$は単調に減少していきます。

$\displaystyle \lim_{a \to +0}f(a)=\lim_{a \to +0}(ax^2+\frac{1-4a^2}{4a})=\infty$
$\displaystyle \lim_{a \to \infty}f(a)=\lim_{a \to \infty}(ax^2+\frac{1-4a^2}{4a})=\lim_{a \to \infty}\{a(x^2-1)+\frac{1}{4a}\}=-\infty$

となるので、$f(a)$はすべての実数をとる…②ことが分かります。

$\displaystyle f'(a)=\frac{4(x^2-1)a^2-1}{4a^2} \geq 0$を$a>0$を考慮して解くと、

$\displaystyle a \geq \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}$となります。

$\displaystyle \lim_{a \to +0}f(a)=\lim_{a \to +0}(ax^2+\frac{1-4a^2}{4a})=\infty$
$\displaystyle \lim_{a \to \infty}f(a)=\lim_{a \to \infty}(ax^2+\frac{1-4a^2}{4a})=\lim_{a \to \infty}\{a(x^2-1)+\frac{1}{4a}\}=\infty$

であることを踏まえて増減表を書くと以下のようになります。