![[中学数学]これで瞬殺！「二次方程式」の裏ワザを解説](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/06/mathematics-g24e3e7112_1920.jpg?fit=1920%2C1344&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回の記事では、「二次方程式」の裏ワザについてです。
二次方程式には知っておくと計算時間を短縮できる裏ワザがいくつかあります。
こういった裏ワザは学校では習わないことが多いので、知っておけばまわりと差をつけられます。
是非裏ワザを身につけて、まわりと差をつけていきましょう！
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二次方程式の裏ワザ
早速、二次方程式の裏ワザを解説していきます。
裏ワザ①:\(x\)の係数が偶数であるときの解の公式
二次方程式の解の公式は、次のように書けますね。
この公式において、\(b=2b’\)となるとき、
となって、根号の中がスッキリした形になります。
例えば、二次方程式\(3x^2-4x-5=0\)を考えます。
\(x\)の係数が偶数となっているので、この公式を用いると以下のように解が求まります。
$$x=\frac{-(-2)±\sqrt{(-2)^2-3×(-5)}}{3}=\frac{2±\sqrt{19}}{3}$$
このように特別な場合は根号の中の計算が楽になるので、是非覚えておきましょう。
裏ワザ②:解と係数の関係
次に、「解と係数の関係」をご紹介します。
これらがなぜ成り立つのかについて説明します。
二次方程式の解の公式を用いて、
$$\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
とおけます。
よって、
\begin{eqnarray}
\alpha+\beta&=&\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=&-\frac{b}{a}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\alpha\beta&=&\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=&\frac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\
&=&\frac{c}{a}
\end{eqnarray}
となります。
問題演習
これらの裏ワザを用いて、次の問題に挑戦してみましょう。
(問)次の問に答えよ。
(1)二次方程式\(x^2-3x+(2p-6)=0\)が\(x=1\)を解に持つとき、\(p\)の値を求めよ。
(2)(1)において、他の解を求めよ。
(3)\(p,q\)を素数とし、二次方程式\(x^2-px+q^2=0\)は相異なる整数解をもつ。このとき、\(p,q\)の値を求めよ。(早稲田実業)
(3)に関しては整数問題が絡んだ難問なので、数学が得意な人は挑戦してみてください。
(1)・(2)の解説
この二次方程式の\(x=1\)以外の解を、\(x=\beta\)とおきます。
解と係数の関係より、\(1+\beta=3\)となるので、\(\beta=2\)となります。
また、解と係数の関係より、\(1×2=2p-6\)なので、\(p=4\)を得ます。
\(x=1\)を代入して、\(p\)を定め、もう一度二次方程式を解くやり方でももちろんできます。
しかし、解と係数の関係を用いた方が計算量がグッと短縮されるので、こちらの解き方をおすすめします。
(3)の解説
二次方程式\(x^2-px+q^2=0\)の解を、\(x=\alpha,\beta\)とします。
なお、\(\alpha>\beta\)としても一般性を失わないので、以下では\(\alpha>\beta\)とします。
解と係数の関係より、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=p \\
\alpha\beta=q^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
\(\alpha,\beta\)は整数であり、\(q\)が素数であることを考えれば、\((\alpha,\beta)=(q^2, 1),(-1,-q^2)\)と候補が絞られます。
\(p=\alpha+\beta\)は正の数なので、\((\alpha,\beta)=(q^2, 1)\)と決まります。
よって、\(p=q^2+1\)となります。
\(q≧3\)とすると\(q\)は奇数であるから、\(p\)は偶数になり不適です。
\(q=2\)とすると、\(p=5\)となり、いずれも素数になるためこれが答えとなります。
整数問題が絡んだ難問でしたが、まずは解と係数の関係を用いて見通しを立てることがポイントでした。
また、素数のポイントとして
ことを覚えておくとよいでしょう。
まとめ：[中学数学]学校では習わない！「二次方程式」の裏ワザを解説
いかがでしたか。
今回の記事では、「二次方程式」の裏ワザについて解説しました。
今回ご紹介した内容は、計算量の短縮や二次方程式の絡んだ整数問題のアプローチの一歩に役立ちます。
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ご一読いただきありがとうございました。
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