![[中学数学]一度は経験しておきたい「規則性」の典型問題！京都府で出題された「反射」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/11/green-gf9d8b0b5b_1920.jpg?fit=1920%2C1280&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、京都府で出題された「規則性」の典型題である「反射」の問題を解説します。
この問題はよくあるテーマであるので、一度経験しやり方を理解できればOKです。
それでは早速解説していきましょう。
問題はこちらから参照できます。
また、以下の記事も本記事と合わせてぜひご覧ください。
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動画解説と合わせて、以下の書籍を用いて問題演習を行うとよいでしょう。
規則性の問題はいろいろなパターンの問題を経験しておくと、未知の問題に太刀打ちしやすくなります。
また、この手の問題は塾に通っていても対策が手薄となりがちです。
ですので、上記書籍を用いて問題演習を行い、規則性の問題を得点源にしましょう！
「反射」の問題の解き方
「反射」の問題では次のことを意識しましょう。
- 光がぶつかった壁を軸として、長方形を折り返す
- このとき、光の進路は一直線になると考えることができ、DP=DP’となる
![[中学数学]一度は経験しておきたい「規則性」の典型問題！京都府で出題された「反射」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/11/反射_解説.png?resize=1024%2C445&ssl=1)
上の図において光は辺CDで反射します。
光がぶつかる辺CDを軸に長方形ABCDを折り返すと、光の進路は一直線となるので、P’に到達することが分かります。
一方で、本来であれば辺CDで反射した後、光は辺AD上のPに到達します。
そうすると、DP=DP’が成立します。
「反射」の問題では光のぶつかる辺を軸に長方形を折り返して考えることが大切です。
(1)の解説
上記の解法の定石に則り、解いていきましょう。
まずは、\(\displaystyle a=\frac{1}{5}\)のときを考えます。
点Pのぶつかる辺で正方形を折り返してゆくと、以下のようになります。
このとき、点Pは各辺と4回ぶつかっていることが分かるので、\(X=4\)です。
続いて、\(\displaystyle a=\frac{2}{3}\)のときを考えます。
![[中学数学]一度は経験しておきたい「規則性」の典型問題！京都府で出題された「反射」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/11/反射_1-1.png?resize=1024%2C632&ssl=1)
点Pのぶつかる辺で正方形を折り返してゆくと、以下のようになります。
このとき、点Pは各辺と3回ぶつかっていることが分かるので、\(X=3\)です。
![[中学数学]一度は経験しておきたい「規則性」の典型問題！京都府で出題された「反射」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/11/反射_2-1.png?resize=1024%2C760&ssl=1)
(2)の解説
(1)の結果を用いると、各辺に点Pが到達するたびに正方形を折り返してゆくとき、
最終的にそれの到達する点はどこになるでしょうか。
その点の座標は、(\(a\)の分母の数,\(a\)の分子の数)と表されることが分かります。
そうすると、\(a=\displaystyle \frac{m}{n}\)では、\(m,n\)が1以外に共通の約数を持たないので、
点Pは最終的に\((n,m)\)に到達します。
また、(1)の結果から考えると点Pは、
もとの直線において\(x\)または\(y\)のどちらかが整数となるときに正方形の辺とぶつかります。
\((n,m)\)の場合は除外することに注意して、
点Pは\(x=1,2,…,(n-1)\)のとき、そして\(y=1,2,…,(m-1)\)となるときに正方形の辺とぶつかります。
よって、\(X=(n-1)+(m-1)=m+n-2\)を得ます。
(3)の解説
(2)ができれば、(3)はすぐにできるかと思います。
(2)の結果を用いると、\(m+n-2=10\)より、\(m+n=12\)が得られます。
なお、\(m,n\)が互いに素(1以外の公約数をもたないこと)である正の整数であることに注意すれば、
求める\((m,n)\)の組は以下のようになります。
$$(m,n)=(1,11),(5,7),(7,5),(11,1)$$
よって、\(a=\displaystyle \frac{1}{11},\frac{5}{7},\frac{7}{5},11\)を得ます。
まとめ：[中学数学]一度は経験しておきたい「規則性」の典型問題！京都府で出題された「反射」の問題を解説！
いかがでしたか。
今回は、京都府で出題された「規則性」の典型題である「反射」の問題を解説しました。
「反射」に関する問題の解き方を知っているかももちろんそうですが、
具体的な話を一般化して考えることができるかという「規則性」で特にみられる考え方が問われていました。
「反射」の問題の解き方をしっかりと覚えておくことはもちろんのこと、
具体→抽象の順に思考を引き上げてゆく訓練を行ってゆくことが「規則性」攻略には大切かと思います。
今後も引き続き過去問等の解説を行ってゆくのでお楽しみに。
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最後までご覧いただきありがとうございました。
また、以下の記事も本記事と合わせてぜひご覧ください。
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