[中学数学]一瞬で解ける！京都府で出題された「場合の数」の問題を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回は、京都府で出題された「場合の数」の問題を解説します。

一見するとややこしい問題ですが、以前解説したことを用いれば、一瞬で解くことができます。

その解き方を早速見ていきましょう。

問題はこちらから参照できます。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

日々の学習におすすめの問題集
早速、「裏ワザ」を用いて考えてみる
表を作って整理してみよう
[中学数学]一瞬で解ける！京都府で出題された「場合の数」の問題を解説！

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早速、「裏ワザ」を用いて考えてみる

碁石\(n\)個をならべてゆくとき、右端は白または黒のどちらかです。

そこで、碁石\(n\)個をならべてゆくとき、

右端が白になる並べ方を\(a_n\)通り、右端が黒になる並べ方を\(b_n\)通りとしましょう。

そこで以前解説した「確率漸化式」の考え方を用いて、

\(a_{n+1},b_{n+1}\)と、\(a_{n},b_{n}\)の間で成り立つ関係式を作る

方針で解いていきましょう。

そうすると、状態遷移図は以下のようになります。

黒玉同士は隣り合ってはいけないので、黒玉を置いたらその次は白玉しか置けないことに注意しましょう。

この状態遷移図より、

\begin{cases}
a_{n+1}=a_{n}+b_{n}\\
b_{n+1}=a_{n}
\end{cases}

となることが分かります。

これをもとに各問を解いてゆきましょう。

表を作って整理してみよう

先ほど得られた式を用いて、\(a_n,b_n\)を順に計算し、表にすると以下のようになります。

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
\(a_n\)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
\(b_n\)	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55
\(a_n+b_n\)	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144

(1)は\((a_4+b_4)\)の値を答えればよいので、答えは5通りです。

(2)については並べ方の総和は、\(a_5+b_5=8\)通りとなります。

また、左端から白黒と並ぶときこの並べ方は\(b_2\)に対応し、

そこから3個の碁石を並べるときの場合の数は\((a_3+b_3)\)に対応します。

よって、求める答えは、\(b_3(a_2+b_2)=1×3=3\)通りです。

(3)は表の結果から、\(n=11\)と分かります。