中学数学「規則性」特別演習～2022早大学院の問題に挑戦！～

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです！

前々回と前回の記事で、「規則性」の解説を行ってきました。

今回は2022年の早大学院の数学の第4問を紹介します。

なかなか歯ごたえのある良い問題だと思いますので、是非挑戦してみてください！

問題はこちらから参照できます。

本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

まずは実験から
1. $a_n$にはどのような規則性があるか？
2. $n$段目の左端にある数にはどのような規則性があるか？
問題の解説
「規則性」の問題に強くなるためのおすすめの問題集
まとめ：[中学数学]「規則性」特別演習～2022早大学院の問題に挑戦！～

まずは実験から

$a_n$にはどのような規則性があるか？

この問題は難しいですが、いつも通り実験から始めましょう！

そのまま計算してもよいのですが、計算量を減らすために、以下のことに注目します。

$a_{n+1}$は、$3a_{n}$を7で割ったときの余りと等しい

それはなぜかといえば、

$3^n$を7で割ったときの商を$b_n$とすると、$3^n=7b_n+a_n$だから、

$3^{n+1}=3(7b_n+a_n)$
　　　$=7×3b_n+3a_n$

となるので、$a_{n+1}$は$3a_{n}$を7で割ったときの余りと等しくなります。

この事実を踏まえれば、

$n=1$のとき、$a_1=3$
$n=2$のとき、$a_2=2$
$n=3$のとき、$a_3=6$
$n=4$のとき、$a_4=4$
$n=5$のとき、$a_5=5$
$n=6$のとき、$a_6=1$
$n=7$のとき、$a_7=3$
$n=8$のとき、$a_8=2$

となってゆくことから、「3,2,6,4,5,1」が繰り返されることが分かりますね。

つまり、$k$を0以上の整数とすれば、

$a_{6k+1}=3$
$a_{6k+2}=2$
$a_{6k+3}=6$
$a_{6k+4}=4$
$a_{6k+5}=5$
$a_{6k}=1$

となります。

$n$段目の左端にある数にはどのような規則性があるか？

1段目には1つ、2段目には2つ、3段目には3つ…の数が並んでゆきます。

1段目から$(n-1)$段目までに並んだ数の個数は、

前々回の記事でも解説したように、

$$1+2+3+…+(n-2)+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$$

となるので、

$n$段目の左端の数は、$a_{1+\frac{(n-1)n}{2}}$となります。

これらの考察をもとに、(1)~(4)の問題を解いていきます。

問題の解説

(1)の解説

まずは(1)です。

「3,2,6,4,5,1」が繰り返されてゆくので、

$$a_{7}=3,a_{8}=2,a_{9}=6,a_{10}=4$$

となります。

(2)の解説

続いて(2)です。

ここでは、周期6で「3,2,6,4,5,1」の並びが繰り返されるため、$a$の下添え字を6で割ったときの余りに注目します。

$n=2022$のとき、

$1+\frac{(n-1)n}{2}=1+1011×2021$であり、

$$1011=168×6+3$$
$$2021=336×6+5$$

であるから、

$$1+1011×2021=6×(168×336×6+168×5+3×336)+16$$

となり、これを6で割った余りは16を6で割った余りと等しいです。

16を6で割った余りは4となるので、$a_{1+1011×2021}=a_4=4$と求まります。

(3)の解説

続いて(3)です。

$3+2+6+4+5+1=21$となることに注意し、

21を順に足していってぎりぎり2022を超えないとき、この繰り返しが何個になるかをまず考えます。

$21×96=2016$ですから、

その繰り返しが96個となるため、

$a_1$から$a_{576}$までの和が2016と等しくなります。

2016に$a_{577}=3$を足すと2019になり、
2019に$a_{578}=2$を足すと2021となるため、

$a_1$から$a_{579}$までを順に足し合わせていったときにはじめてその和が2022を超えることになります。

よって、答えは$n=579$です。

(4)の解説

最後に(4)です。

$a_{2022}$が$m$段目にあるとき、

$m$段目の左端の数$a_{1+\frac{(m-1)m}{2}}$と$(m+1)$段目の左端の数$a_{1+\frac{m(m+1)}{2}}$の下添え字に注目すると、

$$1+\frac{(m-1)m}{2} {≦} 2022 <1+\frac{m(m+1)}{2}$$

が成立するはずです。

この不等式を満たす$m$を探していきます。

$m=64$のとき、

$$1+\frac{(m-1)m}{2}=2017$$
$$1+\frac{m(m+1)}{2}=2081$$

となりますので、$a_{2022}$は64段目にあることが分かります。

$2017=6×336+1$ですから、$a_{2017}=a_{1}=3$です。

また、$64=6×10+4$ですから、$a_{2017}=3$であることを踏まえれば、

64段目には「3,2,6,4,5,1」の繰り返しが10回あり、その後に「3,2,6,4」が並びます。

よって、求める答えは$21×10+(3+2+6+4)=225$となります。

「規則性」の問題に強くなるためのおすすめの問題集

必ず1問は出る「規則性」の問題ですが、以下の書籍を用いて問題演習を行うとよいでしょう。

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規則性の問題はいろいろなパターンの問題を経験しておくと、未知の問題に太刀打ちしやすくなります。

また、この手の問題は塾に通っていても対策が手薄となりがちです。

ですので、上記書籍を用いて問題演習を行い、規則性の問題を得点源にしましょう！

まとめ：[中学数学]「規則性」特別演習～2022早大学院の問題に挑戦！～

いかがでしたか。

今回は2022年の早大学院の問題を解説しました。

最難関私立の問題でも、これまで解説してきた「実験を行って一般化してゆく」やり方が使えることを実感して頂けたかと思います。

他の問題にチャレンジするときも、その原則を忘れずに解いていって欲しいと思います。

本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

ご一読いただきありがとうございました。

[中学数学]「規則性」特別演習～2022早大学院の問題に挑戦！～

まずは実験から

\(a_n\)にはどのような規則性があるか？

\(n\)段目の左端にある数にはどのような規則性があるか？