![[中学数学]一瞬で解ける！京都府で出題された「場合の数」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/11/go-g9be3157c0_1920.jpg?fit=1920%2C1280&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、京都府で出題された「場合の数」の問題を解説します。
一見するとややこしい問題ですが、以前解説したことを用いれば、一瞬で解くことができます。
その解き方を早速見ていきましょう。
問題はこちらから参照できます。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
問題演習をいくらこなしても未知の問題が解けるようにならないとお困りではありませんか。
未知の問題に立ち向かうには、思考の「型」を身に付ける必要があります。
思考の「型」を解説した書籍をAmazonで販売中。
Kindle Unlimitedなら、追加料金なしで閲覧可能。
「MARCH付属校をはじめとした人気難関私立校を志望しているが、対策が立てづらい・・・」
「解説を読んで『理解』できても、自力で『解けない』・・・」
などでお悩みではありませんか。
公立からMARCH付属校対策までをすべてを網羅する「裏ワザ」を解説中！
日々の学習におすすめの問題集
日々の学習におすすめの書籍を紹介します。
まずご紹介するのは、「ハイクラス徹底問題集」です。
定期試験レベルから無理なく徐々にステップアップでき、公立高校入試レベルそして最難関私立高入試へと最終的に到達できるので、
日ごろの学習を通して入試で求められる力を養うことができます。
最難関私立校を受験される方には、「最高水準問題集」もおすすめです。
全国の難関私立国立高校の入試から厳選して演習価値の高い問題が収録されており、
よく出る問題には「頻出」マークがついているなど入試で出やすい問題から対策できるなど、入試本番に向けて効率的に最高レベルの学力を養うことができます。
早速、「裏ワザ」を用いて考えてみる
碁石\(n\)個をならべてゆくとき、右端は白または黒のどちらかです。
そこで、碁石\(n\)個をならべてゆくとき、
右端が白になる並べ方を\(a_n\)通り、右端が黒になる並べ方を\(b_n\)通りとしましょう。
そこで以前解説した「確率漸化式」の考え方を用いて、
\(a_{n+1},b_{n+1}\)と、\(a_{n},b_{n}\)の間で成り立つ関係式を作る
方針で解いていきましょう。
そうすると、状態遷移図は以下のようになります。
黒玉同士は隣り合ってはいけないので、黒玉を置いたらその次は白玉しか置けないことに注意しましょう。
![[中学数学]一瞬で解ける！京都府で出題された「場合の数」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/11/京都府_場合の数.png?resize=1024%2C439&ssl=1)
この状態遷移図より、
\begin{cases}
a_{n+1}=a_{n}+b_{n}\\
b_{n+1}=a_{n}
\end{cases}
となることが分かります。
これをもとに各問を解いてゆきましょう。
表を作って整理してみよう
先ほど得られた式を用いて、\(a_n,b_n\)を順に計算し、表にすると以下のようになります。
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| \(a_n\) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
| \(b_n\) | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
| \(a_n+b_n\) | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
(1)は\((a_4+b_4)\)の値を答えればよいので、答えは5通りです。
(2)については並べ方の総和は、\(a_5+b_5=8\)通りとなります。
また、左端から白黒と並ぶときこの並べ方は\(b_2\)に対応し、
そこから3個の碁石を並べるときの場合の数は\((a_3+b_3)\)に対応します。
よって、求める答えは、\(b_3(a_2+b_2)=1×3=3\)通りです。
(3)は表の結果から、\(n=11\)と分かります。
[中学数学]一瞬で解ける！京都府で出題された「場合の数」の問題を解説！
いかがでしたか。
今回は、京都府で出題された「場合の数」の問題を解説しました。
漸化式を用いれば、非常に楽に解けることを実感して頂けたかと思います。
場合の数・確率の問題において、樹形図を描いて考えるのが大変そうになる場合は、
「漸化式」を用いることができないかを考えてみるとよいです。
今後も引き続き過去問等の解説を行ってゆくので、お楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
コメント