![[中学数学]5分で分かる！「文字式による証明」の解き方のコツを解説](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/05/pay-g36b0506a3_1920.jpg?fit=1920%2C1080&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回の記事のテーマは、「文字式による証明」です。
これまで、入試対策で「規則性」の問題の考え方を解説してきました。
(↓下記のリンクから飛べます)
「規則性」の他に、「文字式による証明問題」が入試でたびたび出題されます。
東京都では毎年のように出題されますから、しっかりと対策しておきたいところです。
またこの問題の解き方は基本的にパターンが決まっているので、マスターすれば得点源となります。
それでは、解説に入っていきましょう。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
問題演習をいくらこなしても未知の問題が解けるようにならないとお困りではありませんか。
未知の問題に立ち向かうには、思考の「型」を身に付ける必要があります。
思考の「型」を解説した書籍をAmazonで販売中。
Kindle Unlimitedなら、追加料金なしで閲覧可能。
「MARCH付属校をはじめとした人気難関私立校を志望しているが、対策が立てづらい・・・」
「解説を読んで『理解』できても、自力で『解けない』・・・」
などでお悩みではありませんか。
公立からMARCH付属校対策までをすべてを網羅する「裏ワザ」を解説中！
「文字式による証明」の解き方の手順
早速、「文字式による証明」の解き方について解説していきます。
これら2つを順に踏んでゆけば、基本的に公立高校レベルのどんな問題でも対応できます。
問題のテーマとなっている数を文字で表すときは、以下のことを覚えておきましょう。
例えば、「偶数と奇数の和が奇数になる」ことを証明していきましょう。
まずは問題のテーマとなっている数を文字で表していきます。
\(m,n\)を整数とすると、偶数は\(2m\), 奇数は\(2n+1\)と表せますね。
ここで、連続する偶数と奇数のみを考えるわけではないため、異なる文字を用いて表すことに注意します。
続いて指定された演算を行います。
いま、偶数と奇数の和つまり足し算を考えるため、
\(2m+2n+1=2(m+n)+1\)
となりますね。
\((m+n)\)は整数ですから、\((2m+2n+1)\)は2で割ると1余る数であることが分かります。
2で割ると1余る数は結局のところ奇数ですから、偶数と奇数の和が奇数になることがいえます。
このように2つのステップを踏むことを忘れないようにしましょう。
問題演習
次の問題を考えてみましょう。
(問1)3桁の正の整数\(X\)および、\(X\)の1の位から10の位の数を引いて100の位の数を足した数\(Y\)を考える。
このとき、\(X\)の100の位,10の位,1の位の数をそれぞれ\(a,b,c\)として、\((X-Y)\)が11の倍数になることを証明せよ。(2022・東京都)
(問2)3桁の正の整数\(N\)に関して、各位の数の和が9の倍数になれば\(N\)も9の倍数になることを、\(N\)の100の位,10の位,1の位の数をそれぞれ\(a,b,c\)と置いて証明せよ。
余力のある人は問2まで挑戦してみましょう。
(問1)の解説
まず、問1の解説です。
解法の原則に従って、テーマとなっている数を文字で表していきましょう。
このとき、\(X=100a+10b+c\)ですから、\(Y=c-b+a\)となりますね。
これらより、問題で指定された演算を行うと、
\begin{eqnarray}
X-Y&=&(100a+10b+c)-(c-b+a)\\
&=&99a+11b\\
&=&11(9a+b)
\end{eqnarray}
となります。
\((9a+b)\)は整数ですから、\(X-Y=11(9a+b)\)は11の倍数であることがいえます。
(問2)の解説
続いて、問2の解説です。
この問題は難関私立校レベルですので、この辺りを狙う方は是非解けるようになってほしい1問です。
まずは\(N\)を\(a,b,c\)を用いて表すと、\(N=100a+10b+c\)となります。
ここでのポイントは、各位の数の和である\((a+b+c)\)を無理やり作り出すことにあります。
そうすると、
\begin{eqnarray}
N&=&100a+10b+c\\
&=&(99a+9b)+(a+b+c)\\
&=&9(11a+b)+(a+b+c)
\end{eqnarray}
となりますね。
\((a+b+c)\)は9の倍数ですから、\(n\)を整数として、\(a+b+c=9n\)とおけるため
\begin{eqnarray}
N&=&9(11a+b)+(a+b+c)\\
&=&9(11a+b+n)
\end{eqnarray}
と書きかえられます。
\((11a+b+n)\)は整数ですから、\((a+b+c)\)は9の倍数であるとき\(N\)も9の倍数であることがいえます。
今回の問題では、与えられた条件を無理やり作り出すことがポイントでした。
まとめ：[中学数学]5分で分かる！「文字式による証明」の解き方のコツを解説
いかがでしたか。
今回の記事では、「文字式による証明」の解き方を解説しました。
ことをこの問題では意識することが大切です。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
ご一読いただきありがとうございました。
コメント