![[中学数学]ドツボを回避できるかがカギ！2022年度国立高専追試験「平面図形」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/10/collective-g0f0df2f22_1920.png?fit=1920%2C1280&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、2022年度国立高専追試験「平面図形」の問題を解説していきます。
最後の小問の前まではなんとか手をつけることができるかと思いますが、
最後の小問があることに気づけばなんてことのないものですが、それに気づけないとドツボにはまってしまいます。
まずは自力で取り組んでもらいたいと思いますが、
行き詰ったら全く違うやり方を考えるようにしてみるとよいです。
それでは解説をしてゆきます。
問題はこちらから参照できます。
また、本記事と合わせて以下の記事もご覧ください。
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大問4(1)の解説
(1)は必ず正解してほしい問題です。
正六角形を対角線によって6つの三角形に分けると、いずれも合同な正三角形になります。
![[中学数学]ドツボを回避できるかがカギ！2022年度国立高専追試験「正六角形」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/10/国立高専_2022追試験.png?resize=1024%2C1022&ssl=1)
そのため、ADの長さはABの2倍となります(ア)。
また、正六角形の1つの内角は120°です。
そのため、∠ABX=60°であり、△ABXは「90°・60°・30°の直角三角形」となります。
よって、BXはABの半分となるので、BX\(=\sqrt{13}\)(イウ)となります。
大問4(2)の解説
点Fから直線AEに下ろした垂線の足をF’とします。
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(1)より、AE\(=6\sqrt{13}\), EF\(=\sqrt{13}\), FF’\(=\sqrt{39}\)となります。
よって、三平方の定理より、
\(AF=\sqrt{(AE+EF)^2+FF’^2}=26\)となり、答えはeです。
この問題もぜひ正解してほしいところです。
大問4(3)の解説
APの長さを直接求めるのは難しそうなので、(2)の答えを利用し、AP:PFを求めることによってそれを導き出していきましょう。
「線分比」といったら、「相似」をまず思い出しましょう。
ここでは、無理やり「相似な三角形」を作り出し、AP:PFを求めてゆくことにします。
そこで線分EJを延長し、直線AK, 直線FF’との交点をそれぞれQ, Rとします。
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このとき、△PQAと△PRFは相似となるので、AP:PF=AQ:FRです。
したがって、以下ではAQとFRの長さを求め、AQ:FRを導出していきます。
まずはAQの長さを求めていきます。
この場合も無理やり相似な三角形を作り出して、考えてゆくとよいです。
そこで、点から直線AEに垂線を下ろし、その足をJ’とします。
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このとき、AJ’\(=\sqrt{13}\), AE\(=6\sqrt{13}\), JJ’\(=3\sqrt{39}\)となります。
そうすると、QAとJJ’は平行となるので、JJ’:AQ=EJ’:EA=5:6となります。
したがって、JJ’\(=\displaystyle \frac{18\sqrt{39}}{5}\)です。
次にAQの長さを求めていきます。
この場合も無理やり相似な三角形を作り出して、考えてゆくとよいです。
そこで、点Jから直線RFに垂線を下ろし、その足をR’とします。
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この際、D,E,Fを頂点とする正六角形の右隣に、もう1つ正六角形を描くと分かりやすいです。
そうすれば、EF’\(=\sqrt{13}\), F’R’\(=3\sqrt{39}\), JR’\(=6\sqrt{13}\)となります。
EF’とJR’は平行となるので、RF’:RR’=EF’:JR’=1:6となります。
よって、RF’\(\displaystyle=\frac{3\sqrt{39}}{5}\)です。
したがって、RF=RF’+F’F\(=\displaystyle \frac{8\sqrt{39}}{5}\)と求まります。
以上から、AP:PF=AQ:FR\(=\displaystyle \frac{18\sqrt{39}}{5}:\frac{8\sqrt{39}}{5}=9:4\)です。
(2)の結果も踏まえると、AP\(=\displaystyle \frac{9}{13}×26=18\)となります。
答えは、オ:1, カ:8です。
この問題は難易度が高く、本番ではここを他の問題を解く方が得策であったかと思います。
大問4(4)の解説
まず、△PEFの面積を求めましょう。
(3)の結果を用いると、(△AEFの面積):(△PEFの面積)=AF:PF=13:4です。
(2)の結果より、AEを底辺とみると、△AEFの高さは\(\sqrt{39}\)となるため、
△AEFの面積は、\(\displaystyle 6\sqrt{13}×\sqrt{39}×\frac{1}{2}=39\sqrt{3}\)です。
よって、△PEFの面積は、\(\displaystyle 39\sqrt{3}×\frac{4}{13}=12\sqrt{3}\)と求まります。
次に、△MNPの面積を求めてゆきましょう。
この問題では、直接面積を求めるのが厳しそうです。
そのため、間接的に面積を求めてゆくことになりますね。
その際、「面積比」で解こうとするとドツボにはまってしまいます(私はドツボにはまりました・・・)。
そこで、発想を転換し、何らかの図形から余計な部分の面積を引いてその面積が求まらないか考えてみます。
ここで、△AEIから△ANI, △EPA, △IMEを引けば、△MNPの面積が求まりますね。
ぱっと見で、△ANI, △EPA, △IMEはいずれも合同のように思えます。
それが正しいかどうか確かめてみましょう。
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さて、△ABI, △EFA, △IJEは
- AI=EA=IE
- AB=EF=IJ
- ∠BAI=∠FEA=∠JIE=120°
より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同となります。
よって、∠NIA=∠PAE=∠MEIとなります。
その他、AI=EA=IEおよび、
∠NIA=∠PAE=∠MEIより、
- ∠NAI=60°-∠PAE
- ∠PEA=60°-∠MEI
- ∠MIE=60°-∠NIA
となるので、∠NAI=∠PEA=∠MIEです。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ANI, △EPA, △IMEは合同です。
ですので、△MNPの面積は、△AEIの面積から△APEの面積の3倍を引けばよいです。
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△AEIは1辺の長さが\(6\sqrt{13}\)の正三角形なので、その面積は以下のようになります。
$$\frac{1}{2}×6\sqrt{13}×6\sqrt{13}×\frac{\sqrt{3}}{2}=117\sqrt{3}$$
また、△EPAの面積は、(△EPAの面積):(△PEFの面積)=AP:PF=9:4であることを用いると、
\(\displaystyle 12\sqrt{3}×\frac{9}{4}=27\sqrt{3}\)です。
以上から、△MNPの面積は、\(117\sqrt{3}-3×27\sqrt{3}=36\sqrt{3}\)と求まります。
答えは、ク:iです。
この問題も本番では捨てた方がよく、他の問題で失点しないように見直しするのが得策であったかと思います。
まとめ：[中学数学]ドツボを回避できるかがカギ！2022年度国立高専追試験「平面図形」の問題を解説！
いかがでしたか。
今回は、2022年度国立高専追試験「平面図形」の問題を解説しました。
やはり、高専の問題は難易度が高いですね。
本番では時間に制約がありますから、今回の場合では前半だけをしっかりと解き、
その他の問題で失点しないようにするのが得策でした。
数学ではドツボにはまったら、発想を切り替えて違う考え方で解けないかを検討してみることが大切です。
引き続き過去問等の解説を行ってゆきますのでお楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
また、本記事と合わせて以下の記事もご覧ください。
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