![[中学数学]超便利！「三平方の定理」の裏ワザを解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/08/pythagorean-theorem-g649ad710d_1920.jpg?fit=1920%2C1280&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、「三平方の定理」の裏ワザについて解説していきます。
これは入試では必ず出てきますが、場合によっては計算量が増えたりするなどの一面を持っています。
しかし、裏ワザを知っていれば計算量がぐっと短縮できるのも事実です。
そこで、知っておくと便利な「三平方の定理」の裏ワザをいくつかご紹介していきます。
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「三平方の定理」をおさらい
本題に入る前に、「三平方の定理」をおさらいしましょう。
斜辺の長さを\(c\)で、その他2辺の長さをがそれぞれ\(a,b\)である直角三角形を考える。
このとき、それぞれを一辺とする正方形の面積を考えると、
$$c^2=a^2+b^2$$
が成り立つ。
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「三平方の定理」についてはさまざまな証明方法がありますが、それらについては別の記事でご紹介していきたいと思います。
さて、以下では「三平方の定理」に関する裏ワザをご紹介していきます。
辺の比が等しい「相似」な直角三角形を作る
例えば、以下の直角三角形における斜辺の長さ\(x\)を求めてみましょう。
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「三平方の定理」をそのまま用いれば、
$$x=\sqrt{25^2+10^2}=5\sqrt{29}$$
となりますが、正直根号の中をなるべく小さくするのに骨が折れます。
そこで、AC:BC=10:25=2:5となるので、
∠F=90°, DF=2, DE=5とする直角三角形
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を考えてみます。
そうすると、
$$DE=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$$
となります。
△ABCと△DEFは「2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい」ので、相似となります。
相似比は、BC:EF=25:5より5:1となるので、AB=5×DE=\(5\sqrt{29}\)と求まります。
よって、計算量を減らすためのテクニックとして、
ことを意識しましょう。
「三角定規」に関する各辺の長さの比
次に、「三角定規」に関する線分比についてみていきます。
「三平方の定理」より以下の性質が成り立ちます。
- 内角が「30°,60°,90°」である直角三角形の辺の比は「\(1:2:\sqrt{3}\)」
- 内角が「45°,45°,90°」である直角三角形の辺の比は「\(1:1:\sqrt{2}\)」
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また、図形の問題で解答の方針がなかなか立たないとき、
と見通しが立つケースが多くなるので、こちらも覚えておきましょう。
「正三角形」の面積の公式
いま、「30°,60°,90°」の直角三角形の各辺の比について説明しました。
これを用いると、「正三角形」の面積を導くことができます。
こちらも便利ですので、ぜひ覚えておきましょう。
各辺の長さの比が整数になる場合
その他、各辺の長さの比が整数になる場合があります。
このような、整数の組を「ピタゴラス数」といいます。
「ピタゴラス数」は以下のようにして作ることができ、有名なものは覚えておくとよいでしょう。
「ピタゴラス数」には興味深い性質があることが知られています。
これに関しても別の記事で解説していきます。
まとめ：[中学数学]超便利！「三平方の定理」の裏ワザを解説！
いかがでしたか。
今回は、知っておくと便利な「三平方の定理」の裏ワザを解説しました。
今回ご紹介した内容は計算量を減らしたり、難問に差し掛かり見通しが立たないときの1つの突破口となる効果が期待できます。
今回は「裏ワザ」をご紹介するのがメインであったため、
今回ご紹介した内容を実際の問題でどう活かしていけばよいかについても今後解説していきますのでお楽しみに。
最後までご一読いただきありがとうございました。
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