[中学数学]テストによく出る「一次関数の応用問題」の解き方を解説!

[中学数学]テストによく出る「一次関数の応用問題」の解き方を解説!中学数学

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回のテーマは、「一次関数の応用問題」です。

動点の問題や、水槽に関する問題等はいろいろなところで出題されます。

しかしながら、これらを苦手とする方も多いです。

そこで今回はそれらを含め、テストによく出る「一次関数の応用問題」の解き方を解説していきます。

また、本記事と合わせて以下の記事も是非ご覧ください。

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まずは問題に挑戦してみよう!

まずは以下の問題に挑戦してみましょう!

【1】の解説

【1】は頻出の「動点」に関する問題です。

この問題では、

動点が、「どの辺にいるかで場合分け」する

ことが鉄則です。

これを踏まえ、問題を解いていきましょう。

問1の解説

\(0≦x≦2\)では、Pの速さが3[cm/秒]より、辺AB上にそれは位置します

このとき、\(AP=3x\)となりますから、\(BP=AB-AP=6-3x\)[cm]です。

よって、△PBCの面積\(y\)[cm2]は次のように表せます。
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{2}×BC×BP\\
&=&\frac{1}{2}×18×(6-3x)\\
&=&-27x+54
\end{eqnarray}

問2の解説

\(8≦x≦10\)では、点Pは辺CD上に位置します

このとき、PCの長さはどうなるでしょうか。

以下の図の赤線部分の長さが\(3x\)[cm]であり、AB+BC=18+6=24[cm]となるので、

\(PC=3x-(AB+BC)=3x-24\)となります。

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以上より、
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{2}×BC×PC\\
&=&\frac{1}{2}×18×(3x-24)\\
&=&27x-216
\end{eqnarray}
となります。

問3の解説

点Pが辺BC上に位置するとき、つまり\(2≦x≦8\)では、三角形ができないので面積は0です。

点Pが辺AD上に位置するとき、つまり\(10≦x≦16\)では、△PBCの高さは一定となるので、
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{2}×BC×AB\\
&=&\frac{1}{2}×18×6\\
&=&54
\end{eqnarray}

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以上より、\(x,y\)の関係をグラフに表すと以下のようになります。

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問4の解説

問3のグラフに\(y=12\)のグラフを重ねてかいてみると以下のようになります。

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そうすると、\(y=12\)となるのは、\(0≦x≦2\)および\(8≦x≦10\)のときであると分かります。

\(0≦x≦2\)では、\(y=-27x+54\)であり、この式に\(y=12\)を代入して解くと
\begin{gather}
-27x+54=12\\
x=\frac{14}{9}
\end{gather}
を得ます。

また\(8≦x≦10\)では、\(y=27x-216\)であり、この式に\(y=12\)を代入して解くと
\begin{gather}
27x-216=12\\
x=\frac{76}{9}
\end{gather}
を得ます。

【2】の解説

【2】は「水槽」に関する問題です。

この類の問題では、

グラフが折れ曲がる点に注目する

ことがポイントです。

問1の解説

グラフが折れ曲がる点に注目すれば、\(0≦x≦15\)までは区画Cの水位が時間に比例することが読み取れます。

これ以降、\(x≦40\)までは区画Cの水位は変化しなくなります

これらより、

注入される水が区画Bへとあふれてしまい、区画Cの水位が変化しなくなる

ことがいえます。

よって、\(x=15\)までに注入された水の体積は\(3×5×2[cm^3]\)となることから、1秒あたりに注入される水の体積は以下のようになります。
$$\frac{3×5×2}{15}=2[cm^3]$$

問2の解説

水を入れ続けてゆくと、グラフに示されている範囲では、

\(40≦x≦120\)では区画B・Cに水が溜まっていき\(120≦x\)では水が区画Aへとあふれてゆく

ことが分かります。

水が区画Aへとあふれていくとき、区画Cの水位は6[cm]となるため、仕切りYの高さは6[cm]となります。

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問3の解説

いま、求める値を\(x\)とおきます。

\(15≦x≦40\)では区画Bにのみ水がたまっていくので、

(\(15≦x≦40\)で注入された水の体積)
=(底面積が\(5x\)[cm2]で、高さが2[cm]の直方体の体積)

ですから、
\begin{gather}
5x×2=2×(40-15)\\
x=5[cm]
\end{gather}
と求まります。

【3】の解説

最後に扱うのは「ダイヤグラム」に関する問題です。

この問題では、

  • 運行状況をグラフに書き込み、各部分の直線の式を求めて、すれ違う時刻を求める
  • 両者がすれ違う」=「グラフの交点

を意識するのが鉄則です。

さて、本題に入ります。

列車Xは「30分で50[km]進む」ことに注意して、列車Yの運行状況を問題のグラフに書き加えると以下のようになります。

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この図より、列車Xと列車Yが3回目にすれ違うとき、午前9時からの経過時間が85分から90分の間であることが分かります。

いま、\(x\)を「午前9時からの経過時間[分]」、\(y\)をP駅からの距離[km]とおきます。

\(75≦x≦105\)で、列車Xにおける\(x,y\)の関係を式に表すと、\((75,0),(105,50)\)を通るので、
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{50-0}{105-75}(x-75)\\
&=&\frac{5}{3}(x-75)\\
&=&\frac{5}{3}x-125\\
\end{eqnarray}
となります。

\(70≦x≦100\)で、列車Yにおける\(x,y\)の関係を式に表すと、\((70,50),(100,0)\)を通るので、
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{0-50}{100-70}(x-100)\\
&=&-\frac{5}{3}(x-100)\\
&=&-\frac{5}{3}x+\frac{500}{3}\\
\end{eqnarray}
となります。

「一次関数の式の決定」に関して、こちらの記事も是非ご覧ください。

求めた2つの直線の方程式を連立させて解くと、
\begin{gather}
\frac{5}{3}x-125=-\frac{5}{3}x+\frac{500}{3}\\
x-75=-x+100\\
2x=175\\
x=\frac{175}{2}=87\frac{1}{2}
\end{gather}
となります。

ここで、仮分数を帯分数に直すのがポイントです。

いま\(x\)の単位は分であるため、\(\frac{1}{2}\)分を秒数に直すと、
$$\frac{1}{2}×60=30$$
となります。

以上から、3回目に両者がすれ違うのは午前9時から87分30秒を経過したときなので、求める時刻は午前10時27分30秒となります。

まとめ:[中学数学]テストによく出る「一次関数の応用問題」の解き方を解説!

いかがでしたか。

今回は、テストによく出る「一次関数の応用問題」の解き方を解説しました。

特に動点や水槽に関する問題は、入試でもよく出題されます。

ですので、今回扱った問題を完璧に解けるようになることが大切です。

引き続き、関数の問題を解説していきますのでお楽しみに。

最後までご一読いただきありがとうございました。

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