[中学数学]絶対に失敗しない「因数分解」の解き方を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回のテーマは、「因数分解」です。

中学の定期テスト、高校入試では必ず出題されます。

しかし、中にはどう考えても因数分解できないという経験はありませんか。

今回は、中学数学で出てくる因数分解のパターンを網羅し、絶対に失敗しない因数分解のやり方について考えていきましょう。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

絶対に失敗しない「因数分解」のやり方

まず、乗法公式について確認します。

①$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
②$a^2 \pm{2ab}+b^2=(a \pm{b})^2$
③$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

これらの公式は必ず覚えましょう。

その下で、因数分解は以下の手順で行っていきます。

各項に共通因数があるかどうか確認し、あれば式をそれでくくる
1.で共通因数がなければもとの多項式、それがあれば共通因数でくくったあとの多項式に対して①→②→③の順に乗法公式が利用できないかを調べ、因数分解する
乗法公式を用いて因数分解できそうにないときは、以下に注目する
A. 同じ文字でくくって、共通因数を作り出す
B. 多項式をよく見て、○²ー□²に変形できないか考える
C. 一部を因数分解して、共通因数を作り出す
D. 次数の低い文字で多項式を整理し、共通因数を作り出す
上記の手順を踏んで得られた各因数がまだ因数分解できないか調べ、それができそうなら因数分解する

例題演習

こちらの問題に挑戦してみましょう。

因数分解_練習問題ダウンロード

(9)から難易度が上がりますが、説明した解き方に従ってまずは自力で取り組んでみましょう。

問題の解説

(1)の解説

まずは(1)です。

各項を見ると、それぞれ$2ab$を共通因数に持っていることが分かります。

よって、$2ab-4ab^2+8a^2b=2ab(1-2b+4a)$と因数分解できます。

これ以上各因数は因数分解できないため、これが答えとなります。

(2)の解説

次に(2)です。

各項を見ると共通因数はないため、次のステップである「乗法公式の適用」を考えていきます。

そうするとこの式は○²-□²の形をしていますから、乗法公式①を適用して、

答えは$(a+b)(a-b)$となります。

(3)の解説

次に(3)です。

各項を見ると共通因数はないため、次のステップである「乗法公式の適用」を考えていきます。

明らかに、乗法公式①と②は適用できないのが分かります。

となると、乗法公式③を使えないかどうか考えます。

このとき、この式の定数項である-16に関して、かけてそれになる2数のペアをあげてゆくと次のようになります。

1つ目の数	1	-1	2	-2	4
2つ目の数	-16	16	-8	8	-4
2数の和	-15	15	-6	6	0

そうすると、$(-2,8)$のペアに関して$8+(-2)=6$となって$x$の係数に一致しますから、

答えは$(x-2)(x+8)$となります。

(4)の解説

次に(4)です。

各項を見ると共通因数はないため、次のステップである「乗法公式の適用」を考えていきます。

明らかに、乗法公式①は適用できないのが分かります。

ここで、以下のことを覚えておくとよいでしょう。

平方数(何かを2乗した数)の一覧
$1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16$
$5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81$
$10^2=100, 11^2=121, 12^2=144$
$13^2=169, 14^2=196, 15^2=225$

$169=13^2$であり、以下のように与式が変形できるので、乗法公式②が適用できます。
\begin{eqnarray}
z^2+26z+169&=&z^2+2×13×z+13^2\\
&=&(z+13)^2
\end{eqnarray}
よって、答えは$(z+13)^2$です。

(5)の解説

次に(5)です。

各項を見ると共通因数はないため、次のステップである「乗法公式の適用」を考えていきます。

明らかに、乗法公式①は適用できないのが分かります。

次に、乗法公式②の適用を考えます。

$25y^2=(5y)^2$となることを踏まえると、与式は以下のように変形でき、乗法公式②が適用できます。
\begin{eqnarray}
x^2-10xy+25y^2&=&x^2-2×5y×x+(5y)^2\\
&=&(x+5y)^2
\end{eqnarray}

よって、答えは$(x+5y)^2$です。

乗法公式②の適用に関して、

各項の中に、何かを2乗した数が2個あるかどうか確認する

とよいでしょう。

(6)の解説

次に(6)です。

各項を見ると、それぞれ$4a$を共通因数に持っていることが分かります。

よって、$4ay^2-16ayz+12az^2=4a(y^2-4yz+3z^2)$と変形できます。

続いて、$(y^2-4yz+3z^2)$が因数分解できないかどうか見ていきます。

明らかに乗法公式①と②は適用できなさそうなので、乗法公式③の適用を考えます。

かけて$3z^2$になる2数のペアは以下のようになります。

1つ目の数	$z$	$-z$
2つ目の数	$3z$	$-3z$
2数の和	$4z$	$-4z$

$(-z,-3z)$のペアに関して、$(-z)+(-3z)=-4z$となって$y$の係数に一致するので、

答えは、$4a(y-z)(y-3z)$となります。

(7)の解説

次に(5)です。

各項を見ると共通因数はないため、次のステップである「乗法公式の適用」を考えていきます。

明らかに乗法公式①は適用できなさそうです。

続いて乗法公式②の適用を考えてみます。

$25m^2=(5m)^2, 9n^2=(3n)^2$であり、以下のように式変形できるため、乗法公式②が適用できます。
\begin{eqnarray}
25m^2+30mn+9n^2&=&(5m)^2+2×5m×3n+(3n)^2\\
&=&(5m+3n)^2
\end{eqnarray}

よって、答えは$(5m+3n)^2$です。

この問題でも乗法公式②の適用に関して、各項に何かを2乗した数がないかを確認することが大切です。

(8)の解説

次に(8)です。

各項を見ると、それぞれ4を共通因数に持っているので、$100x^2-16y^2=4(25x^2-4y^2)$と変形できます。

次に、$(25x^2-4y^2)$に関して、乗法公式を適用して因数分解できないかどうか考えていきます。

$25x^2=(5x)^2,4y^2=(2y)^2$ですから、乗法公式①を適用して、
\begin{eqnarray}
4(25x^2-4y^2)=4(5x+2y)(5x-2y)
\end{eqnarray}
を得ます。

よって、答えは$4(5x+2y)(5x-2y)$です。

(9)の解説

ここから、難易度が上がります。

各項には共通因数はないので、次のステップに進みます。

$t^4-8t^2+16=(t^2)^2-8t^2+16$となりますから、乗法公式②を適用して、
\begin{eqnarray}
(t^2)^2-8t^2+16=(t^2-4)^2
\end{eqnarray}
となりますね。

ここで、$(t^2-4)$はまだ因数分解でき、$t^2-4=(t+2)(t-2)$となるため、
\begin{eqnarray}
(t^2-4)^2&=&\{(t+2)(t-2)\}^2\\
&=&(t+2)^2(t-2)^2
\end{eqnarray}

となり、答えは$(t+2)^2(t-2)^2$となります。

(10)の解説

次に(10)です。

各項には共通因数はなく、どの乗法公式も適用できなさそうです。

しかし、この式をよく見ると、
$$-9+6y-y^2=-(y^2-6y+9)=-(y-3)^2$$
が潜んでいることが分かり、○²-□²の形を作り出せるので、以下のように因数分解できます。
\begin{eqnarray}
x^2-9+6y-y^2&=&x^2-(y-3)^2\\
&=&\{x+(y-3)\}\{x-(y-3)\}\\
&=&(x+y-3)(x-y+3)
\end{eqnarray}

(11)の解説

次に(11)です。

各項には共通因数はなく、どの乗法公式も適用できなさそうです。

この式の中には、$x^2-y^2$があり、これを因数分解してみると、
\begin{eqnarray}
x^2-y^2+x+y=(x+y)(x-y)+(x+y)
\end{eqnarray}
となり、共通因数として$(x+y)$が現れます。

よって、
\begin{eqnarray}
(x+y)(x-y)+(x+y)=(x+y)(x-y+1)
\end{eqnarray}
と答えが求まります。

(12)の解説

次に(12)です。

各項には共通因数はなく、どの乗法公式も適用できなさそうです。

この式を$x$でくくってみると、
$$xy+x+2y+2=x(y+1)+2y+2$$
となります。

また、$(2y+2)$は2でくくれるので、
$$x(y+1)+2y+2=x(y+1)+2(y+1)$$
となり、共通因数として$(y+1)$が現れます。

よって、
$$x(y+1)+2(y+1)=(x+2)(y+1)$$
が答えとなります。

(13)の解説

次に(13)です。

各項には共通因数はなく、どの乗法公式も適用できなさそうです。

この式を$x$でみると2次式であり、$y$でみると1次式です。

そこで、この式を$y$について整理してみると定数項に$(x^2+2x-3)$が現れ、これを因数分解すると$(x-1)(x+3)$となります。

それを踏まえると、与式の各項で$(x-1)$が共通因数として現れるので、以下のように因数分解できます。
\begin{eqnarray}
x^2-xy+2x+y-3
&=&(1-x)y+(x^2+2x-3)\\
&=&(1-x)y+(x-1)(x+3)\\
&=&-(x-1)y+(x-1)(x+3)\\
&=&(x-1)(x-y+3)
\end{eqnarray}

(14)の解説

次に(14)です。

各項には共通因数はなく、どの乗法公式も適用できなさそうです。

この式は$a,b,c$どの文字でみても2次式となるので、ここでは文字$a$に注目して整理していきます。

そうすると、共通因数として$(b-c)$が現れます。
\begin{eqnarray}
a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2
&=&(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2\\
&=&(b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)\\
&=&(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}
\end{eqnarray}

$a^2-(b+c)a+bc$は乗法公式③を用いて、$(a-b)(a-c)$と因数分解できるため、

答えは$(a-b)(b-c)(a-c)$となります。

(15)の解説

最後に(15)です。

各項には共通因数はなく、どの乗法公式も適用できなさそうです。

この式を$x,y$それぞれでみると3次式に、$z$でみると2次式になるので、$z$で整理してみます。
\begin{eqnarray}
x^3+y^3-x^2y-xy^2-yz^2-z^2x
&=&-(x+y)z^2+(x^3+y^3-x^2y-xy^2)\\
&=&-(x+y)z^2+(x^3+x^2y+y^3+xy^2-2x^2y-2xy^2)\\
&=&-(x+y)z^2+\{x^2(x+y)+y^2(x+y)-2xy(x+y)\}\\
\end{eqnarray}
このように、共通因数として$(x+y)$が現れます。

ここで、
$$-x^2y-xy^2=xy^2+xy^2-2x^2y-2xy^2$$
と変形するのがポイントでした。

よって、
\begin{eqnarray}
-(x+y)z^2+{x^2(x+y)+y^2(x+y)-2xy(x+y)}
&=&(x+y)(-z^2+x^2+y^2-2xy)\\
&=&(x+y)\{(x-y)^2-z^2\}\\
&=&(x+y)(x-y+z)(x-y-z)
\end{eqnarray}
と答えが求まります。

この問題は一工夫加えないと共通因数が出てこず難しかったかと思いますが、

ここまでできれば難関私立校の入試でも十分に対応できます。