[高校入試]一度は取り組んでおきたい「整数問題」の良難問を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

前回まで「整数問題」の解き方について解説してきました。

今回の記事では、難関校で出題された整数問題の良難問を解説していきます。

数学が得意な人・難関校を目指す方は是非挑戦してみてください！

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

2020・東大寺学園高・大問3
2018・開成高・大問3
2021・灘高・大問3
1. (1)の解説
2. (2)の解説
全9回の動画授業で「整数問題」がスラスラ解ける！
難関校を目指す方におすすめの問題集
まとめ：[高校入試]一度は取り組んでおきたい「整数問題」の良難問を解説！

2020・東大寺学園高・大問3

まずは、2020年東大寺学園高の大問3に挑戦してみましょう。

整数問題の中でも変化球的な問題で、思考力を試す良問です。

問題はこちらから参照できます。

(1)の解説

まずは、(1)です。

整数問題のアプローチとして、因数分解・周期性・範囲を絞るの3つがありましたが、

因数分解と周期性によるアプローチはこの問題では利用できなさそうです。

よって、「範囲を絞る」という方針で解いていきます。

与えられた不等式の各辺を2倍したあとに、1を引きます。
$$1<2p-1<2q-1<2r-1$$
そして、各辺を$q$で割ると、
$$\frac{1}{q}<\frac{2p-1}{q}<2-\frac{1}{q}$$
となり、上記の不等式を満たす整数は1のみです。

よって、答えは1となります。

(2)の解説

(2)においても引き続き不等式で評価し、範囲を絞り込んでいきましょう。

$1<p<q<r$より、
$$\frac{1}{r}<\frac{1}{q}<\frac{1}{p}$$
ですから、
$$\frac{2r-1}{r}=2-\frac{1}{r}<\frac{2r-1}{q}<\frac{2r-1}{p}$$
となります。

ここで(1)より$r=2p-1$ですから、$2r-1=4p-3$となるため上記の不等式は、以下のようになります。
$$\frac{2r-1}{r}=2-\frac{1}{2p-1}<\frac{2r-1}{q}<\frac{4p-3}{p}=4-\frac{3}{p}$$
この不等式を満たす整数は2または3となりますね。

もし、$\frac{2r-1}{q}=2$となるとき、$2r-1=2q$となりますが、左辺が奇数・右辺が偶数となり矛盾します。

よって、2は不適となります。

以上から、
$$\frac{2r-1}{q}=3$$
と求まります。

(3)の解説

(1),(2)より、$q=\frac{2r-1}{3}=\frac{2(2p-1)-1}{3}=\frac{4}{3}p-1$ですから、
$$\frac{3(2q-1)}{p}=\frac{6q-3}{p}=8-\frac{9}{p}$$
となります。

この式が整数となるとき、$p>1$に注意して、$p=3,9$に絞られます。

$p=3$のとき、$q=3$となって$p<q$に矛盾し、不適です。

$p=9$のとき、$q=11,r=17$となって$1<p<q<r$を満足するので、これが答えとなります。

2018・開成高・大問3

次は、2018年開成高の大問3です。

このパターンの問題もたびたび出題されるので、経験しておきたい1問です。

問題はこちらから参照できます。

(1)の解説

1以上9以下の整数には、偶数として、$2,4(=2^2),6(=2×3),8(=2^3)$が含まれます。

これを踏まえると、

$6!$を素因数分解すると、2の指数が4になるため、$≪6!≫=4$となります。

$8!,9!$を素因数分解すると、2の指数が7になるため、$≪8!≫=≪9!≫=7$となります。

(2)の解説

(2)に入る前に、少し実験をしてみます。

$6!$に含まれる1から6までの整数を、次のように整理してみます。

	1	2	3	4	5	6	〇の合計
$2$の倍数		〇		〇		〇	3
$2^2$の倍数				〇			1

このとき、「各行の〇の合計」を合算すると、$3+1=4$となります。

同様に$9!$に含まれる1から9までの整数を、次のように整理してみます。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	〇の合計
$2$の倍数		〇		〇		〇		〇		4
$2^2$の倍数				〇				〇		2
$2^3$の倍数								〇		1

このとき、「各行の〇の合計」を合算すると、$4+2+1=7$となります。

これらからどのようなことが示唆されるでしょうか。

$n!$に含まれる各偶数を順に2で割ってゆくと、それに含まれる偶数の個数と同じ回数だけ割ることになる。
その上で残っている偶数を順に2でわってゆくと、$n!$に含まれる4の倍数の個数と同じ回数だけ割ることになる。
その上で残っている偶数を順に2でわってゆくと、$n!$に含まれる8の倍数の個数と同じ回数だけ割ることになる。

この一連の操作を$n!$から偶数がなくなるまで続けたとき、

これらの割った回数を合計したものが$≪n!≫$と一致することがいえます。

このことを踏まえ、$≪212!≫$を考えてみます。

$212$に含まれる偶数の個数は、$212÷2=106$より、$106$です。
$212$に含まれる$2^2$の倍数の個数は、$212÷4=53$より、$53$です。
$212$に含まれる$2^3$の倍数の個数は、$212÷8=26…4$より、$26$です。
$212$に含まれる$2^4$の倍数の個数は、$212÷16=13…4$より、$13$です。
$212$に含まれる$2^5$の倍数の個数は、$212÷32=6…20$より、$6$です。
$212$に含まれる$2^6$の倍数の個数は、$212÷64=3…20$より、$3$です。
$212$に含まれる$2^7$の倍数の個数は、$212÷128=1…84$より、$1$です。

以上より、$106+53+26+13+6+3+1=208$と答えが求まります。

(3)の解説

$≪212!≫$の結果を踏まえると、214を素因数分解すると2の指数が1となるため、

$≪214!≫=≪212!≫+1=209$となります。

また、216を素因数分解すると2の指数が3となるため、

$≪216!≫=≪214!≫+3=212$となります。

$216!$と$217!$には全く同じ偶数が含まれるので、答えは$n=216,217$となります。

(4)の解説

この問題でも実験から始めましょう。

整数$N$を整数$K$で割ったときの商を、$\lfloor \frac{N}{K} \rfloor$と表すことにします。

\begin{eqnarray}
≪10!≫&=&\lfloor \frac{10}{2} \rfloor+\lfloor \frac{10}{2^2} \rfloor+\lfloor \frac{10}{2^3} \rfloor=8\\
≪11!≫&=&\lfloor \frac{11}{2} \rfloor+\lfloor \frac{11}{2^2} \rfloor+\lfloor \frac{11}{2^3} \rfloor=8\\
≪12!≫&=&\lfloor \frac{12}{2} \rfloor+\lfloor \frac{12}{2^2} \rfloor+\lfloor \frac{12}{2^3} \rfloor=10\\
≪13!≫&=&\lfloor \frac{13}{2} \rfloor+\lfloor \frac{13}{2^2} \rfloor+\lfloor \frac{13}{2^3} \rfloor=10\\
≪14!≫&=&\lfloor \frac{14}{2} \rfloor+\lfloor \frac{14}{2^2} \rfloor+\lfloor \frac{14}{2^3} \rfloor=11\\
≪15!≫&=&\lfloor \frac{15}{2} \rfloor+\lfloor \frac{15}{2^2} \rfloor+\lfloor \frac{15}{2^3} \rfloor=11\\
≪16!≫&=&\lfloor \frac{16}{2} \rfloor+\lfloor \frac{16}{2^2} \rfloor+\lfloor \frac{16}{2^3} \rfloor+\lfloor \frac{16}{2^4} \rfloor=15
\end{eqnarray}

となってゆくことから、$≪2!≫=1,≪4!≫=3,≪8!≫=7$となることも踏まえて、

$k$を整数として、$n=2^k$であれば、$≪n!≫=n-1$となることが分かります。

よって、$n$を5つ列挙すると、$n=2,4,8,16,32$となります。

ここからは余談ですが、$r$を1以外の実数、$l$を整数として、
$$1+r+…+r^{l-2}+r^{l-1}=\frac{r^l-1}{r-1}$$
となることを用いれば、
\begin{eqnarray}
≪2^k!≫&=&\lfloor \frac{2^k}{2} \rfloor+\lfloor \frac{2^k}{2^2} \rfloor+…+\lfloor \frac{2^k}{2^{k-1}} \rfloor+\lfloor \frac{2^k}{2^k}\rfloor\\
&=&2^{k-1}+2^{k-2}+…+2+1\\
&=&2^k-1
\end{eqnarray}

となり、$n=2^k$であれば、$≪n!≫=n-1$となることがいえます。

2021・灘高・大問3

最後に総仕上げとして、2021年の灘高の大問3にチャレンジしてみましょう。

問題はこちらから参照できます。

(1)の解説

(1)の解説に入っていきましょう。

\begin{eqnarray}
p^2&=&\{2ab+(3a+4)\}^2\\
&=&4a^2b^2+4ab(3a+4)+(3a+4)^2\\
&=&4a\{ab^2+(3a+4)b\}+(3a+4)^2
\end{eqnarray}

となりますね。

問題で与えられた条件式より、$ab^2+(3a+4)b=-2a-6$ですからこれを上記の式に代入して、
\begin{eqnarray}
p^2&=&4a\{ab^2+(3a+4)b\}+(3a+4)^2\\
&=&4a(-2a-6)+(3a+4)^2\\
&=&a^2+16
\end{eqnarray}
を得ます。

(2)の解説

(1)で得られた式から、$p^2-a^2=16$となります。

左辺を因数分解し、$p=2ab+3a+4$を代入すると、
\begin{gather}
p^2-a^2=16\\
(p+a)(p-a)=16\\
(2ab+3a+4+a)(2ab+3a+4-a)=16\\
(2ab+4a+4)(2ab+2a+4)=16
\end{gather}
となり、両辺を4で割って、$(ab+2a+2)(ab+a+2)=4$を得ます。

この式から、$a,b$が0でない整数であるため、
$(ab+2a+2,ab+a+2)=(4,1),(2,2),(1,4),(-4,-1),(-2,-2),(-1,-4)$
と候補が定まります。

$(ab+2a+2,ab+a+2)=(4,1)$のとき、次の連立方程式
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
ab+2a+2=4 \\
ab+a+2=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
において、上の式から下の式を引くと、$a=3$となります。

この値を上あるいは下どちらかの式に代入して解くと、$b=-\frac{4}{3}$となりますが整数にならず不適です。

同様にして他の組に関しても$(a,b)$の値を求めてゆくと、
$(ab+2a+2,ab+a+2)=(-1,-4)$のときのみに、条件に合致する$(a,b)=(3,-3)$が得られます。

よって、これが答えとなります。

なお、この問題では誘導に乗らずに、解くこともできます。

最も次数の低い$a$で等式①を整理すると、
\begin{gather}
ab^2+(3a+4)b+2a+6=0\\
(b^2+3b+2)a+4b+6=0\\
(b+1)(b+2)a+4(b+1)+2=0
\end{gather}
となり、$(b+1)(b+2)a+4(b+1)+2=0$において、2を移項して左辺を因数分解すると、
$$(b+1)\{(b+2)a+4\}=-2$$
となります。