![[高校入試]「整数問題」の解き方のコツを丁寧に解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/05/math-g4f3d3c187_1920.jpg?fit=1920%2C1280&ssl=1)
こんにちは、ゆーきゃんです。
今回の記事のテーマは、「整数問題」です。
難関私立校を中心によく出題されるので、こちらを目指す方はしっかりと対策を行うことが大切ですが。
早速、解説に入っていきましょう。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
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基本的な解法はたった3つ！
整数問題を解くコツとして、以下の3つの基本的な解法を覚えておけば大丈夫です！
また、
ことを心掛けるとよいと思います。
例題を通して、具体的な解き方をみていきましょう。
因数分解に持ち込むパターン
次の問題を考えましょう。
(問1)\(x,y\)を正の整数とする。次の(1),(2)それぞれを満たす\((x,y)\)の組を求めよ。
(1)\(x^2-y^2=16\)
(2)\(xy+x+y-7=0\)
まず、(1)です。
解法の定石通り、左辺で因数分解を行うと\((x+y)(x-y)=16\)となりますね。
このとき、かけて16になる2つの正の整数を考えれば、
$$(x+y,x-y)=(16,1),(8,2),(4,4),(2,8),(1,16)$$
と\((x+y),(x-y)\)の候補が求まります。
このうち、\(x,y\)が正の整数となるのは、\((x,y)=(5,3)\)のみとなります。
次に(2)を考えます。
左辺を\(x\)でくくると、
$$x(y+1)+y-7=0$$
となりますが、これでは因数分解ができませんね。
そこで、無理やり\((y+1)\)という共通因数を作り出すために、両辺に1を加えます。
$$x(y+1)+y-7+1=1$$
$$x(y+1)+(y+1)-7=1$$
$$(x+1)(y+1)=8$$
となります。
このとき、かけて8になる2つの正の整数を考えれば、
$$(x+1,x+1)=(8,1),(4,2),(2,4),(1,8)$$
と\((x+1),(x+1)\)の候補が求まります。
このうち、\(x,y\)が正の整数となるのは、\((x,y)=(3,1),(1,3)\)となります。
いきなり因数分解ができない問題では、無理やり共通因数を作り出して因数分解することが大切です。
周期性に注目するパターン
次の問題を考えてみましょう。
(問2)\(3^n\)を10で割ったときの余りを<\(n\)>と表す。このとき、
(1)<5>の値を求めよ。
(2)<2022>の値を求めよ。
このようにパッと見で状況をつかめないときは、具体的な数値から実験していきましょう！
<1>=3, <2>=9, <3>=7, <4>=1, <5>=3, <6>=9, <7>=7, <8>=1,…
となってゆくので、「3,9,7,1」が繰り返されてゆくことが分かります。
よって、
- \(n\)を4で割ったときの余りが1のとき、<\(n\)>=3
- \(n\)を4で割ったときの余りが2のとき、<\(n\)>=9
- \(n\)を4で割ったときの余りが3のとき、<\(n\)>=7
- \(n\)を4で割ったときの余りが0のとき、<\(n\)>=1
となります。
(1)は今求めたように、<5>=3です。
次に(2)です。
2022を4で割ると2余るため、<2022>=9となります。
規則性の問題でも解説しましたが、整数問題においても周期性に注目することが大切です。
範囲を絞り込むパターン
次の問題を考えてみましょう。
(問3)\(m<n\)とするとき、次の式を満たす正の整数\((m,n)\)の組を求めよ。(2017慶應志木)
$$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{7}$$
\(m<n\)ですから、
$$\frac{1}{m}>\frac{1}{n}$$
となりますね。両辺に\(\frac{1}{m}\)を加えても不等号の向きは変わらないので、
$$\frac{2}{m}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m}>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{7}$$
$$\frac{1}{m}>\frac{1}{14}$$
となりますから、\(1≦m≦13\)に候補が絞られます。
\(1≦m≦7\)のときは、\(\frac{1}{n}≦0\)となって、\(n\)が正の整数にならず不適です。
\(m=8\)のとき、
$$\frac{1}{n}=\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=\frac{1}{56}$$
となり、\(n=56\)となり、\((m,n)=(56,8)\)は\(m<n\)を満たすのでOKです。
\(9≦m≦13\)では、\(n\)が整数にならずいずれも不適です。
よって、答えは\((m,n)=(56,8)\)となります。
範囲を絞り込むやり方は、今回のような分数式の問題や平方根の問題で威力を発揮しますので覚えておきましょう。
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まとめ：[高校入試]「整数問題」の解き方のコツを丁寧に解説！
いかがでしたか。本記事では「整数問題」の解き方のコツを解説しました。
整数問題では、
- 因数分解に持ち込む
- 周期性に注目する
- 範囲を絞る
といった3つの方法を意識してもらえれば、十分に対応できるかと思います。
次回は公倍数や公約数などの問題の解き方について解説していきます。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
ご一読いただきありがとうございました。
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