![[中学数学]核心をつかめば簡単！「一次関数」の問題の考え方を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/07/student-ga3ceb2155_1920.jpg?fit=1920%2C917&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回のテーマは、「一次関数」です。
一次関数の式の決定やグラフを描くなど、さまざまな問題が出題されます。
覚えることが多く、よく分からないという方も多いのではないでしょうか。
しかし、「一次関数」の核心を理解できればどんな問題もいとも簡単に崩れ去ります。
そこで、今回は「一次関数」の核心を解説し、問題演習を行っていきます。
また、本記事と合わせて以下の記事も是非ご覧ください。
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「一次関数」の核心とは？
そもそも、「一次関数」の核心とは何でしょうか？
- \(y=ax+b\)の形で表される関数を「一次関数」といい、\(a\)を「傾き」、\(b\)を「切片」と呼ぶ
- 「一次関数」ではグラフ上のどの2点をとっても、「変化の割合」(=傾き)は一定
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となることがその本質です。
なお、「変化の割合」とは、(\(y\)の増加量)÷(\(x\)の増加量)のことをいいます。
どの2点をとっても「変化の割合」がいつも同じになるのが「一次関数」の本質ですから、このことを利用すればどんな問題でも簡単に解けます。
それを踏まえ、よく出題される問題について考えてみましょう。
「一次関数」のグラフの描き方
まず、「一次関数」のグラフの描き方を考えます。
「変化の割合」が常に一定であるということから、
ということがいえます。
例えば、て次の3つの一次関数のグラフを描くことを考えます。
\((1) y=2x+1\)
\((2) y=\frac{2}{5}x+4\)
\((1) y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\)
(1)では、\((0,1)\)と\((1,3)\)の2つの格子点を通るため、これらを通過する直線を描けばOKです。
(2)では、\((-5,2)\)と\((5,6)\)の2つの格子点を通るため、これらを通過する直線を描けばOKです。
(3)では、\((1,2)\)と\((4,6)\)の2つの格子点を通るため、これらを通過する直線を描けばOKです。
そうすると、グラフは以下のようになります。
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このように、一次関数のグラフでは2つの格子点を通る直線を描くとよいです。
「一次関数」の式の決定問題はどう解く？
「一次関数」の式の決定問題は以下のことをおさえておけばOKです。
これらを踏まえて、次の問題に挑戦してみましょう。
(1)の解説
変化の割合と傾きは等しいので、\(y=5x+4\)です。
(2)の解説
先ほどの公式をそのまま用いて、答えは以下のようになります。
$$y=2(x-3)+4=2x-2$$
(3)の解説
\(y=-\frac{1}{2}x-5\)と平行なので、求める直線の傾きも\(-\frac{1}{2}\)となります。
よって、答えは以下のようになります。
$$y=(-\frac{1}{2})×(x-5)+8=-\frac{1}{2}x+\frac{21}{2}$$
(4)の解説
与えられた2点から、変化の割合を求めると以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\frac{5-\frac{4}{3}}{1-\frac{1}{3}}&=&\frac{3×(5-\frac{4}{3})}{3×(1-\frac{1}{3})}\\
&=&\frac{15-4}{3-1}\\
&=&\frac{11}{2}
\end{eqnarray}
この直線は\((1,5)\)を通るため、答えは以下のようになります。
$$y=\frac{11}{2}(x-1)+5=\frac{11}{2}x-\frac{1}{2}$$
(5)の解説
次のことを覚えておくとよいでしょう。
よって、求める直線の傾きは\(\frac{1}{2}\)となります。
\((3,6)\)を通るため、求める直線の式は以下のようになります。
$$y=\frac{1}{2}(x-3)+6=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$
まとめ：[中学数学]核心をつかめば簡単！「一次関数」の問題の考え方を解説！
いかがでしたか。
今回は「一次関数」の問題の考え方について解説しました。
「一次関数」は「グラフ上のどの2点をとっても、「変化の割合」(=傾き)は一定」であるとい核心をつかめれば、それを利用して簡単に問題を解くことができます。
今回扱った問題は定期試験では必ず出題されますので、テスト直前等には繰り返し解くようにしましょう。
次回は苦手な人も多い「一次関数の応用問題」を解説していきますので、お楽しみに。
最後までご一読いただきありがとうございました。
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