![[中学数学]入試でよく出る！慶應義塾高「階乗に関する整数問題」を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/10/pink-g2d2eaf7b9_1920.jpg?fit=1920%2C1280&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、慶應義塾高校で出題された「階乗に関する整数問題」を解説していきます。
階乗をテーマとした問題は、高校入試においてもたびたび出題されます。
特に、慶應義塾高校では過去2年分で出題されています。
この問題は一度経験しておけば、解き方は同じなので、これに関する様々な問題に対応できます。
まずは自力で取り組んでみてください。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
問題演習をいくらこなしても未知の問題が解けるようにならないとお困りではありませんか。
未知の問題に立ち向かうには、思考の「型」を身に付ける必要があります。
思考の「型」を解説した書籍をAmazonで販売中。
Kindle Unlimitedなら、追加料金なしで閲覧可能。
「MARCH付属校をはじめとした人気難関私立校を志望しているが、対策が立てづらい・・・」
「解説を読んで『理解』できても、自力で『解けない』・・・」
などでお悩みではありませんか。
公立からMARCH付属校対策までをすべてを網羅する「裏ワザ」を解説中！
難関校を目指す方におすすめの問題集
高校入試対策で、整数問題を攻略したい方には次の問題集がおすすめです。
高校入試の整数問題に特化した問題集はあまりありませんが、
この1冊をこなせば難関私立校に対応できる力をしっかりと養うことができます。
難関私立校を受験される方にはおすすめの1冊です。
最難関私立校を受験される方には、「最高水準問題集」もおすすめです。
全国の難関私立国立高校の入試から厳選して演習価値の高い問題が収録されており、
よく出る問題には「頻出」マークがついているなど入試で出やすい問題から対策できるなど、入試本番に向けて効率的に最高レベルの学力を養うことができます。
問題の概要
慶應義塾高校で出題された次の「整数問題」に挑戦してみましょう。
正の整数\(N\)と\(a\)に対して、\(1×2×3×…×(N-1)×N\)を\(a\)で繰り返し割り切ることができる回数を[\(N,a\)]と表す。
例えば、\(N=5,a=2\)のとき、\(1×2×3×4×5=120\)であり、\(120\)は\(2\)で\(3\)回割り切ることができるので、[\(5,2\)]=\(3\)である。以下の問に答えよ。
(1)[\(10,2\)],[\(10,5\)],[\(10,10\)]を求めよ。
(2)[\(2016,10\)]を求めよ。
(3)[\(100,390\)]を求めよ。
(1)の解説
今回の問題のテーマとなっている、1から連続する正の整数の積を「階乗」といいます。
以下、\(1\)から\(n\)までの連続する正の整数の階乗を、\(n!\)と表します。
「階乗」の計算結果が10で何回割り切れるか(末尾に0が何個続くか)という問題はよく出題されます。
「階乗」をテーマとした問題は、他の記事でも解説しておりますのでこちらも是非ご覧ください。
(1)では、(2)および(3)につなげてゆくための考察を行ってゆきます。
1から10までの連続する正の整数において、各整数を素因数分解したとき、\(2\)が何回掛け算されているか(\(2\)で割り切れる回数)を調べます。
そうすると以下の表が得られます。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 2で割り切れる回数 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 1 |
そうすれば、\(10!=K×2^{1+2+1+3+1}=K×2^{8}\)と表せますね(\(K\)は正の整数)。
次に、1から10までの連続する正の整数において、各整数を素因数分解したとき、\(5\)が何回掛け算されているか(\(5\)で割り切れる回数)を調べます。
そうすると以下の表が得られます。
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5で割り切れる回数 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
そうすれば、\(10!=K’×5^{1+1}=K’×5^{2}\)と表せますね(\(K’\)は正の整数)。
以上を踏まえれば、\(10!=L×2^{8}×5^{2}=L×2^{6}×10^{2}\)(\(L\)は正の整数)となります。
これまでの結果から、
といえます。
よって、答えは、[\(10,2\)]\(=8\),[\(10,5\)]\(=2\),[\(10,10\)]\(=2\)となります。
(2)の解説
(1)と同様に考えていきます。
この問題では、\(2016!\)が\(5\)で何回割り切れるかを考えればOKです。
\(5^4=625, 5^5=3125\)となるので、\(2016\)以下の各正の整数は、\(5\)で最大でも\(4\)回しか割り切れないことに注意します。
\(2016\)以下の正の整数を、1から順に5で割っていきます。
このとき、
- 1巡目において、5で割り切れた整数の個数は、\(2016÷5=403…1\)より403個
- 2巡目において、5で割り切れた整数の個数は、
2016以下の正の整数に含まれる\(5^2\)の倍数の個数に等しいので、
\(2016÷5^2=80…16\)より、80個 - 3巡目において、5で割り切れた整数の個数は、
2016以下の正の整数に含まれる\(5^3\)の倍数の個数に等しいので、
\(2016÷5^3=16…16\)より、16個 - 4巡目において、5で割り切れた整数の個数は、
2016以下の正の整数に含まれる\(5^4\)の倍数の個数に等しいので、
\(2016÷5^4=3…141\)より、3個
以上より、[\(2016,10\)]\(=403+80+16+3=502\)となります。
(4)の解説
これまでと同様に考えていきます。
\(390=2×3×5×13\)と素因数分解ができ、100以下の正の整数の中に含まれる個数において、
\(13\)の倍数の個数<\(5\)の倍数の個数<\(3\)の倍数の個数<\(2\)の倍数の個数
となることは明らかです。
ですから、\(100!\)が\(390\)で何回割り切れるかを考えるときは、それが\(13\)で何回割り切れるかを考えればよいわけです。
\(13^2=169\)ですから、\(100\)以下の各正の整数は、\(13\)で最大でも\(1\)回しか割り切れないことに注意します。
そうすると、ここでは\(100\)以下の正の整数のうち、\(13\)の倍数が何個あるかをカウントすればよいです。
\(100÷13=7…9\)より、その個数が\(7\)であると分かります。
以上より、[\(100,390\)]\(=7\)となります。
まとめ：[中学数学]入試でよく出る！慶應義塾高「階乗に関する整数問題」を解説！
いかがでしたか。
今回は、慶應義塾高校で出題された「階乗に関する整数問題」を解説しました。
階乗を計算し、末尾に何個0が並ぶかを問う問題はよく出題されるので、その解き方を覚えておきましょう。
開成高校で出題された、このテーマの類題も解説しておりますので、合わせてご覧いただけると幸いです。
最後までご覧いただきありがとうございました。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
コメント