[中学理科]「物体の運動」の応用問題の解き方のコツを解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

これまで、「力」に関していろいろと解説してきました。

今回のテーマは、「物体の運動」の応用問題についてです。

等速直線運動や等加速度運動が混ざった運動において、移動距離を計算させる問題が度々あります。

このような問題は1つのことを理解できていれば、一瞬で解けてしまいます。

今回はそのような問題へのアプローチ法を解説していきます。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

「移動距離」＝「面積」である
1. 「等速直線運動」の性質の証明
2. 「等加速度運動」の性質の証明
久留米大附設高の入試問題を考えてみよう
1. 問題Aの解説
2. 問題Bの解説
応用力を高めたい方におすすめの問題集
まとめ：[中学理科]理解すべきことは1つだけ！「物体の運動」の応用問題の解き方のコツを解説！

「移動距離」＝「面積」である

物体の「移動距離」に関しては、以下のことを覚えてしまえばどんな問題でも対応できます！

以下の「速さ-時間」グラフに関して、運動開始から時間が$T$経過するまでにおいて、
「物体が移動した距離」＝「グラフで囲まれる部分の面積」となる。

[中学理科]理解すべきことは1つだけ！「物体の運動」の応用問題の解き方のコツを解説！

このことを用いて、以前の記事で解説した「等速直線運動」と「等加速度運動」の性質を証明していきます。

「等速直線運動」の性質の証明

「等速直線運動」では常に速さが一定ですから、この速さを$V$とすると、

時間が$T$だけ経過したときに、グラフで囲まれる部分の面積は$VT$となります。

これこそが移動距離になり、$T$は変数なので、「移動距離が時間に比例する」ことが分かります。

「等加速度運動」の性質の証明

加速度を$a$とします。

「等加速度運動」では常に加速度が一定ですから、、グラフで囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{1}{2}aT^2$となります。

これこそが移動距離になり、$T$は変数なので、「移動距離が時間の2乗に比例する(2次関数)」ことが分かります。

久留米大附設高の入試問題を考えてみよう

これまでのおさらいとして、久留米大附設高の入試問題を考えてみましょう。

問題はこちらから参照できます。

問題Aの解説

時刻$t$におけるAの速さを$v_A(t)$、Bの速さを$v_B(t)$とおきます。

Aは「等加速度運動」を行うため、$v_A(t)=10$[m/s]となります。

一方、Bは$t=60$までは「等加速度運動」を行い、それ以降は「等速直線運動」を行うため、
\begin{gather}
v_B(t)
=
\begin{cases}
\dfrac{15}{60}t = \dfrac{1}{4}t[m/s] & ( 0 ≦ t ≦ 60 ) \\
15[m/s] & ( 60 ≦ t )
\end{cases}
\end{gather}
となります。

よって、時刻$t$におけるAとBの位置をそれぞれ$x_A(t),x_B(t)$とすると、図2のグラフで囲まれる部分の面積を考えれば、$x_A(t)=10t$[m]となります。

$x_B(t)$について、$t≧60$では「下底＝$t$, 上底＝$(t-60)$, 高さ＝$15$の台形」の面積を考えれば、
\begin{gather}
x_B(t)
=
\begin{cases}
\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{4}t × t = \dfrac{1}{8}t^2[m] & ( 0 ≦ t ≦ 60 ) \\
\dfrac{1}{2} × \{t + (t-60) \}× 15 = 15(t-30)[m]& ( 60 ≦ t )
\end{cases}
\end{gather}
となります。

これらを踏まえ、問1から問4の解説をしていきます。

問1の解説

$x_A(t),x_B(t)$の各式に$t=20$に代入して、
\begin{eqnarray}
x_A(t)&=&10×20=200[m]\\
x_B(t)&=& \frac{1}{8}×20×20=50[m]
\end{eqnarray}
を得ます。

問2の解説

$x_B(t)$において、$t=60$を境に式が変わるため、$0<t≦60, 60≦t$の2つに分けて考えます。

$0<t≦60$の下で、$x_A(t)=x_B(t)$すなわち、2次方程式
$$10t=\frac{1}{8}t^2$$
を解くと、$t=0,80$となりますが、いずれも不適です。

続いて、$60≦t$の下で、$x_A(t)=x_B(t)$すなわち、1次方程式
$$10t=15(t-30)$$
を解くと、$t=90$[s]となって$60≦t$を満たすので、これが答えとなります。

問3の解説

この問題に関連し、「相対速度」は次のように定義されます。

「相対速度」＝(相手の速さ) – (自分の速さ)

これを踏まえればBから見たAの速さは、$v_A(t)-v_B(t)$と表されるため、
\begin{gather}
v_A(t)-v_B(t)
=
\begin{cases}
10-\dfrac{1}{4}t[m/s] & ( 0 ≦ t ≦ 60 ) \\
10-15=-5[m/s]& ( 60 ≦ t )
\end{cases}
\end{gather}
これを踏まえ、グラフを描くと以下のようになります。