[高校入試]「面積比」の裏ワザ！「チェバの定理」・「メネラウスの定理」を解説

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

前回の記事では、「線分比・面積比」の問題における発想法のコツについて解説しました。

今回のテーマは、「チェバの定理」と「メネラウスの定理」です。

これらの定理を知っていると、瞬殺できる問題も多々あります。

知っていると強力な武器になるので、頑張っていきましょう。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

「平面図形」攻略におすすめの書籍
どのようにして面積比を求めればよい？
問題の解答方針
「チェバの定理」と「メネラウスの定理」
問題の解説
まとめ：[高校入試]知っておくと便利な「面積比」の裏ワザ！「チェバの定理」・「メネラウスの定理」を解説

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「解法のエッセンス」では平面図形で学習する内容をどう実際の問題に活用するかに重点をおいて執筆されています。

いきなり問題集に取り組む前に、これらを通して問題を解く際の方法論を身につけるとよいでしょう。

難関校を目指す方や平面図形を得意になりたい方にはおすすめです。

どのようにして面積比を求めればよい？

本題に入る前に、次の問題を考えてみてください。

(問)以下の図において、AP:PB=1:1, BQ:QC=3:2, AR:RC=3:2である。
このとき、△ASPの面積は△ABCの面積の何倍か求めよ。

問題の解答方針

前回の記事で解説したやり方で、解答方針を立てていきましょう。

面積比の問題では、

面積を直接求める
合同および相似な三角形
(同じ高さの三角形の面積比)＝(底辺の長さの比)から、線分比の議論に帰着させる

から発想をスタートするのが定石でした。

いまの問題の場合では合同や相似な三角形の考え方は使えなさそうなので、後者の性質を用いて方針を立てていきます。

いきなり△ASPと△ABCの面積を比べるのは大変なので、△ASPと高さが共通している三角形から始めて順に面積を比較してゆくとよいでしょう。

△ASPと高さが共通している三角形の1つとして、△ABSがあります。

そうすると、(△ASPの面積):(△ABSの面積)=AP:AB より、
$$△ASP=\frac{AP}{AB}×△ABS=\frac{1}{2}×△ABS$$
となりますね。

[高校入試]知っておくと便利な「面積比」の裏ワザ！「チェバの定理」・「メネラウスの定理」を解説

続いて、△ABSと高さが共通している三角形の1つに△ABQがあります。

よって、(△ABSの面積):(△ABQの面積)=AS:AQゆえ、
$$△ABS=\frac{AS}{AQ}×△ABQ$$
となります。

最後に、△ABQと△ABCの高さは共通していますので、
$$△ABQ=\frac{BQ}{BC}×△ABC=\frac{3}{5}×△ABC$$
となりますね。

以上から、
\begin{eqnarray}
△ASP&=&\frac{AP}{AB}×△ABS\\
&=&\frac{1}{2}×\frac{AS}{AQ}×△ABQ\\
&=&\frac{1}{2}×\frac{AS}{AQ}×\frac{BQ}{BC}×△ABC\\
&=&\frac{1}{2}×\frac{AS}{AQ}×\frac{3}{5}×△ABC
\end{eqnarray}
ということになりますね。

つまり、AS:AQの値が求まれば、問題の答えが導きだせることになります。

この値はどのようにして求めればよいのでしょうか。

「チェバの定理」と「メネラウスの定理」

ここで、今回の記事のテーマである「チェバの定理」と「メネラウスの定理」について解説します。

以下の図において、「チェバの定理」では次の式が成り立つ。
$$\frac{AP}{PB}×\frac{BQ}{QC}×\frac{CR}{RA}=1$$

チェバの定理は、左上から始めて、
$$\frac{①}{②}×\frac{③}{④}×\frac{⑤}{⑥}=1$$
と矢印の順番で覚えるとよいかと思います。

次に「メネラウスの定理」についてです。

以下の図において、「メネラウスの定理」では次の式が成り立つ。
$$\frac{CB}{CQ}×\frac{PA}{BP}×\frac{RQ}{AR}=1$$

メネラウスの定理は、右下から始めて、
$$\frac{②}{①}×\frac{④}{③}×\frac{⑥}{⑤}=1$$
と矢印の順番で覚えるとよいでしょう。

問題の解説

さて、問題に戻ります。

AS:AQの値を、「メネラウスの定理」を用いて求めていきます。
\begin{gather}
\frac{CB}{CQ}×\frac{PA}{BP}×\frac{SQ}{AS}=1\\
\frac{5}{2}×\frac{1}{1}×\frac{SQ}{AS}=1\\
\frac{SQ}{AS}=\frac{2}{5}
\end{gather}
となるので、AS:AQ=5:(5+2)=5:7と求まります。

よって、
\begin{eqnarray}
△ASP&=&\frac{1}{2}×\frac{AS}{AQ}×\frac{3}{5}×△ABC\\
&=&\frac{1}{2}×\frac{5}{7}×\frac{3}{5}×△ABC\\
&=&\frac{3}{14}×△ABC
\end{eqnarray}
より、(△ASPの面積):(△ABCの面積)=3:14と求まります。