[中学数学]「不等式」の扱い方をマスターしよう！2023年度早大学院「整数問題」を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回は、2023年度早大学院で出題された「整数問題」を解説します。

この問題のテーマは「不等式評価」です。

中学数学ではあまり見かけないテーマかもしれません。

しかしながら、不等式評価をテーマとする入試問題もたびたび出題されています。

ですので、これを機に「不等式」の扱い方を習得してもらえればと思います。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

今回解説する問題の概要
<$a$>を不等式評価するとどうなる？
1. まずは具体的な考察から
2. 不等式を変形する上でのポイント
(1)の解説
(2)の解説
(3)の解説
「整数問題」攻略におすすめの問題集
まとめ：[中学数学]「不等式」の扱い方をマスターしよう！2023年度早大学院「整数問題」を解説！

今回解説する問題の概要

今回は、2023年度早大学院で出題された大問4を解説します。

問題はこちらから参照できます。

<$a$>を不等式評価するとどうなる？

まずは具体的な考察から

この問題は$y=2x+5$の関係を満たす正の数$x,y$について、

<$x$>および<$y$>を不等式評価して答えを導けるかがテーマとなっています。

その足掛かりとしてまずは、正の数$a$に対して<$a$>を不等式評価することを考えてみます。

とはいえいきなりその評価をするのは難しいので、いつものように具体的なところから考えます。

<$a$>=2となるとき、四捨五入して2になるような$a$の範囲は、$1.5≦a<2.5$となります。

<$a$>=3となるとき、四捨五入して3になるような$a$の範囲は、$2.5≦a<3.5$となります。

<$a$>=4となるとき、四捨五入して4になるような$a$の範囲は、$3.5≦a<4.5$となります。

このように考えていけば、$N$を正の整数として<$a$>=$N$となるとき、

$\displaystyle N-\frac{1}{2}≦a<N+\frac{1}{2}$…(*)

ということが分かります。

しかし、<$a$>を不等式評価するのがいまの目標なので、(*)を変形してゆく必要があります。

以下ではこの不等式の変形を行ってゆきます。

不等式を変形する上でのポイント

不等式を変形してゆく際は以下のことに注意しましょう。

不等式を解く際は、方程式を解くときとほとんど一緒である
不等式の各辺に同じ数を足すときは、不等号の向きは変わらない
不等式の各辺に負の数を掛け算するとき、不等号の向きが反転する

まず(*)の各辺をマイナス倍します。

このとき、不等号の向きが反転するので、以下のようになります。

$$\displaystyle -N-\frac{1}{2}<-a≦-N+\frac{1}{2}$$

そして、各辺に$N$を加えると以下のようになります。

このとき、不等号の向きが反転しないことに注意します。

$$\displaystyle -\frac{1}{2}<N-a≦\frac{1}{2}$$

各辺に$a$を加え、<$a$>=$N$ですから、目標とする不等式を得ます。

このときも不等号の向きが反転しないことに注意しましょう。

$\displaystyle a-\frac{1}{2}<<a>≦a+\frac{1}{2}$…(**)

(**)をもとに(1)~(3)の問題を考えます。

(1)の解説

(**)を利用すると、$y=2x+5$の関係式が成り立っているので、

$\displaystyle y-\frac{1}{2}<<y>≦y+\frac{1}{2}$

$\displaystyle (2x+5)-\frac{1}{2}<<y>≦(2x+5)+\frac{1}{2}$…①

を得ます。

さて、$<x>=1$なので、$\displaystyle \frac{1}{2}≦x<\frac{3}{2}$…②が成り立ちます。

①・②より、

\begin{gather}
\displaystyle (2×\frac{1}{2}+5)-\frac{1}{2}<<y><(2×\frac{3}{2}+5)+\frac{1}{2}\\
\displaystyle 5.5<<y><8.5…③
\end{gather}

を得ます。

ここで、①の左側にある不等号にイコールがついていないので、③の左側においても不等号にイコールがつかないことに注意しましょう。

$<y>$は整数となるので、③を満たす整数を列挙すると、$<y>=6,7,8$となります。

(2)の解説

(*)を利用すると、

$\displaystyle x-\frac{1}{2}<<x>≦x+\frac{1}{2}$…④

を得ます。

④の両辺を-2倍して、$\displaystyle -2x-1≦-2<x><-2x+1$…④’が得られます。

①と④’の辺々を足し合わせて、

\begin{gather}
\displaystyle (2x+5)-\frac{1}{2}-2x-1<<y>-2<x><(2x+5)+\frac{1}{2}-2x+1\\
\displaystyle 4-\frac{1}{2}<<y>-2<x><6+\frac{1}{2}…⑤
\end{gather}

を得ます。

ここで、①の左側にある不等号にイコールがついていないので、④の左側においても不等号にイコールがつかないことに注意しましょう。

⑤より、$<y>-2<x>$は整数ゆえ、$<y>-2<x>=4,5,6$となります。

(3)の解説

④の各辺を2倍して、$2x-1<2<x>≦2x+1$…⑥を得ます。

①と⑥の辺々を足し合わせ、$<y>+2<x>=30$を踏まえると、

$\displaystyle (2x+5)-\frac{1}{2}+(2x-1)<<y>+2<x>≦(2x+5)+\frac{1}{2}+(2x+1)$

$\displaystyle 4x+\frac{7}{2}<30≦4x+\frac{13}{2}$…⑦

となります。

⑦の左側の不等式を解くと、

\begin{gather}
\displaystyle 4x+\frac{7}{2}<30\\
\displaystyle 4x<30-\frac{7}{2}=\frac{53}{2}\\
\displaystyle x<\frac{53}{8}…⑧
\end{gather}

続いて、⑦の右側の不等式を解くと、

\begin{gather}
\displaystyle 30≦4x+\frac{13}{2}\\
\displaystyle 30-\frac{13}{2}=\frac{47}{2}≦4x\\
\displaystyle \frac{47}{8}≦x…⑨
\end{gather}

⑧および⑨より、$\displaystyle \frac{47}{8}≦x<\frac{53}{8}$となります。

$y=2x+5$であり、$\displaystyle x=\frac{y-5}{2}$となるので、

\begin{gather}
\frac{47}{8}≦\frac{y-5}{2}<6+\frac{53}{8}\\
\frac{47}{4}≦y-5<\frac{53}{4}\\
\frac{47}{4}+5≦y<\frac{53}{4}+5\\
16+\frac{3}{4}≦y<18+\frac{1}{4}
\end{gather}

を得ます。

これにより、$<y>=17,18$のいずれかとなります。

$<y>=30-2<x>=2(15-<x>)$ですから、$<y>$は偶数である必要があります。

したがって、$<y>=18$と決まります。

$<y>=18$となるような$y$の最小値は$\displaystyle \frac{35}{2}$なので、

取り得る$x$の最小値は$\displaystyle \frac{35}{2}=2x+5$を解いて、$\displaystyle x=\frac{25}{4}$となります。