![[中学数学]入試に必ず出る！「ルート」の計算方法を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/06/mistake-gd96fa4737_1920.jpg?fit=1920%2C1221&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回のテーマは、「ルート」の計算方法についてです。
必ずルートの入る式の計算問題は入試で出題されますし、コツがつかめないと解けないのがこの問題でもあります。
しかしコツさえつかめれば計算できますから、諦めずにトライしてみてください。
また、本記事と合わせて以下の記事も是非ご覧ください。
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「ルート」の計算方法について
「ルート」の計算問題では、次のことを意識しましょう。
例えば、\(\sqrt{48}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}×\sqrt{15}\)の計算を考えてみましょう。
まずは、「ルート」の中身を簡単にすることから始めましょう。
このとき、\(48=2^4×3=\)\(4^2\)\(×3\)となりますから、
\begin{eqnarray}
\sqrt{48}&=&\sqrt{4^2×3}\\
&=&\sqrt{4^2}×\sqrt{3}\\
&=&4\sqrt{3}
\end{eqnarray}
となりますね。
また、
\begin{eqnarray}
\sqrt{5}×\sqrt{15}&=&\sqrt{5×5×3}\\
&=&\sqrt{5^2}×\sqrt{3}\\
&=&5\sqrt{3}
\end{eqnarray}
となるので、\(\sqrt{3}\)同士を計算し、
\begin{eqnarray}
\sqrt{48}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}×\sqrt{15}&=&4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5\sqrt{3}\\
&=&(4+3-5)\sqrt{3}\\
&=&2\sqrt{3}
\end{eqnarray}
を得ます。
計算の練習をしてみよう！
上記のことを踏まえ、計算練習をしてみましょう！
【1】の解説
(1)の解説
分母に\(\sqrt{5}\)があるので、分母分子に\(\sqrt{5}\)をかけると、
\begin{eqnarray}
\frac{3}{\sqrt{5}}&=&\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}\\
&=&\frac{3\sqrt{5}}{5}
\end{eqnarray}
となります。
(2)の解説
\begin{eqnarray}
\sqrt{\frac{7}{2}}&=&\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\\
&=&\frac{\sqrt{7}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}\\
&=&\frac{\sqrt{14}}{2}
\end{eqnarray}
となります。
(3)の解説
まず、分母と分子それぞれの根号内を簡単にします。
\(45=3^2×5\)ゆえ、\(\sqrt{45}=\sqrt{3^2}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)であり、
\(8=2^3=2^2×2\)ゆえ、\(\sqrt{8}=\sqrt{2^2}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)となります。
よって、分母・分子に\(\sqrt{2}\)をかけて、
\begin{eqnarray}
\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{8}}&=&\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\\
&=&\frac{3\sqrt{5}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}\\
&=&\frac{3\sqrt{10}}{4}
\end{eqnarray}
となります。
【2】の解説
(1)の解説
解法の原則通り、根号内の数字を簡単にします。
\(48=2^4×3=4^2×3\)より、\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)となるので、
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}×\sqrt{48}&=&\sqrt{2}×4\sqrt{3}\\
&=&4\sqrt{2×3}\\
&=&4\sqrt{6}
\end{eqnarray}
を得ます。
(2)の解説
\(98=7^2×2\)より、\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)なので、
\begin{eqnarray}
\sqrt{10}×\sqrt{5}+\sqrt{98}&=&\sqrt{2×2×5}+7\sqrt{2}\\
&=&\sqrt{2^2×5}+7\sqrt{2}\\
&=&2\sqrt{5}+7\sqrt{2}\\
\end{eqnarray}
根号の中身が違うもの同士の足し算は計算できないので、これが答えとなります。
(3)の解説
このままだと計算ができないので、まず分母の有利化を行います。
分母・分子に\(\sqrt{6}\)をかけて、
\begin{eqnarray}
\frac{12}{\sqrt{6}}&=&\frac{12×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}\\
&=&2\sqrt{6}
\end{eqnarray}
となります。
よって、
\begin{eqnarray}
\frac{12}{\sqrt{6}}+\sqrt{42}÷\sqrt{7}&=&2\sqrt{6}+\sqrt{\frac{42}{7}}\\
&=&2\sqrt{6}+\sqrt{6}\\
&=&3\sqrt{6}
\end{eqnarray}
を得ます。
(4)の解説
この問題では、分配法則を利用します。
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})&=&\sqrt{2}×\sqrt{5}+\sqrt{2}×\sqrt{3}\\
&=&\sqrt{10}+\sqrt{6}
\end{eqnarray}
となります。
(5)の解説
まず、分母の有理化を行います。
\begin{eqnarray}
\sqrt{\frac{7}{18}}&=&\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3^2×2}}\\
&=&\frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{2}}\\
&=&\frac{\sqrt{7}×\sqrt{2}}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}\\
&=&\frac{\sqrt{14}}{6}\\
\end{eqnarray}
となるので、
\begin{eqnarray}
\sqrt{5}(\sqrt{\frac{7}{18}}-\sqrt{6})&=&\sqrt{5}(\frac{\sqrt{14}}{6}-\sqrt{6})\\
&=&\sqrt{5}×\frac{\sqrt{14}}{6}-\sqrt{5}×\sqrt{6}\\
&=&\frac{\sqrt{70}}{6}-\sqrt{30}
\end{eqnarray}
が答えとなります。
(6)の解説
乗法公式を用いれば、
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
ですから、
\begin{eqnarray}
(\sqrt{3}+1)^2&=&(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×1+1^2\\
&=&3+2\sqrt{3}+1\\
&=&4+2\sqrt{3}
\end{eqnarray}
が答えとなります。
(7)の解説
乗法公式より、
\((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)
ですから、
\begin{eqnarray}
(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)&=&(\sqrt{7})^2-2^2\\
&=&7-4\\
&=&3
\end{eqnarray}
が答えとなります。
(8)の解説
乗法公式より、
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
ですから、
\begin{eqnarray}
(\sqrt{11}+6)(\sqrt{11}-5)&=&(\sqrt{11})^2+(6-5)×\sqrt{11}+6×(-5)\\
&=&11+\sqrt{11}-30\\
&=&-19+\sqrt{11}
\end{eqnarray}
が答えとなります。
まとめ：[中学数学]入試に必ず出る！「ルート」の計算方法を解説！
いかがでしたか。
今回は、「ルート」の計算方法について解説しました。
その計算にあたっては、以下のことに注意しましょう。
これらを踏まえ、以下の書籍を用いて計算練習すると効果的です。
最後までご一読いただきありがとうございました。
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