![[高校入試]知っておくと便利！「円」に関する定理・性質をご紹介！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/08/circle-g9dbad38f5_1920.jpg?fit=1920%2C1024&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回のテーマは、「円」に関する定理・性質についてです。
円がからんだ問題はよく入試でも出題されますが、知っておくと便利な定理・性質を用いると簡単に解ける問題も多くあります。
一方、難関校では以下で説明する定理・性質を知っているものとして出題されるものもあります。
そこで、今回はそのような知っておくと便利な円に関する定理・性質をご紹介していきます。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
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円に内接する四角形の角の性質
「円」に内接する四角形の角の性質として、以下が成立します。
四角形ABCDが円に内接しているとき、向かい合う角の和は180°になる。
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\(\angle\mathrm{ABC},\angle\mathrm{ADC}\)の和が180°となることを証明してみましょう。
下の図のように、角度を設定すると、円周角の定理より、
$$\angle\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}×2\alpha°=\alpha°, \angle\mathrm{ADC}=\frac{1}{2}×(360-2\alpha)°=(180-\alpha)°$$
となるため、両者の和が180°となることが分かります。
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円の接線と弦のなす角に関する「接弦定理」
円の接線と弦のなす角に関して、以下が成り立ちます。
点Pが円Oの接線であるとき、
$$\angle\mathrm{PAB}=\angle\mathrm{CPB},\angle\mathrm{ABP}=\angle\mathrm{APD}$$
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いま、\(\angle\mathrm{PAB}=\angle\mathrm{CPB}\)であることを示してみましょう。
円周角の定理より、\(\angle\mathrm{BOP}=2\angle\mathrm{PAB}=2\alpha°\)が成り立ちます。
また、△OBPはOB=OPの二等辺三角形なので、
$$\angle\mathrm{BPC}=\frac{1}{2}×(180°-\angle\mathrm{PAB})=(90-\alpha)°$$
が成立します。
また、線分OPと直線は直交するので、
$$\angle\mathrm{CPB}=90°-\angle\mathrm{BPC}=\alpha°$$
となり、接弦定理が導かれます。
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パターン別「方べきの定理」
次に「方べきの定理」について解説します。
この定理には3パターンありますので、各パターンについて詳しく見ていきましょう。
円の内部で2つの弦が交わる場合
円の内部で2つの弦が交わる場合は、以下が成り立ちます。
以下の図において、次の等式が成立する。
$$AP×PC=BP×PD$$
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△PABと△PDCは相似となるので、AP:PB=PD:PCゆえ、\(AP×PC=BP×PD\)が成り立ちます。
円の外部で2つの線分が交わる場合
円の外部で2つの線分が交わる場合は、以下が成立します。
以下の図において、次の等式が成立する。
$$PB×PA=PC×PD$$
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先ほど説明した、「円」に内接する四角形の性質を用いれば、
$$\angle\mathrm{PAD}=\angle\mathrm{PCB},\angle\mathrm{PDA}=\angle\mathrm{PBC}$$
が成り立つので、△PADと△PCBは相似になります。
よって、PA:PD=PC:PBより、\(PB×PA=PC×PD\)が導かれます。
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円の外部で2つの線分が交わり、一方が円の接線となる場合
円の外部で2つの線分が交わり、一方が円の接線となる場合は以下が成り立ちます。
以下の図において、次の等式が成立する。
$$PB×PA=PC^2$$
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このパターンの証明には、「接弦定理」を用います。
「接弦定理」より、\(\angle\mathrm{PAC}=\angle\mathrm{PCB}\)が成り立ちます。
よって、△PACと△PCBは相似となります。
そのため、PA:PC=PC:PBゆえ、\(PA×PB=PC^{2}\)が成り立ちます。
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まとめ：[高校入試]知っておくと便利！「円」に関する定理・性質をご紹介！
いかがでしたか。
今回は、「円」に関する定理・性質についてご紹介しました。
今回ご紹介した内容は、難関校ではよく出てくるので、受験される方は覚えておくとよいでしょう。
次回は、これらを用いた難関校で出題された「円」に関する問題を解説していきますのでお楽しみに。
最後までご一読いただきありがとうございました。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
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