![[中学数学]一度は解いておきたい良問！2022青山学院高等部「平面図形」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/09/stars-g70fcc6cb5_1920.jpg?fit=1920%2C1280&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、2022年度の青山学院高等部の「平面図形」の問題を解説します。
平面図形の問題では難しすぎるものも多いですが、
今回ご紹介する問題はほどよい難易度で公立高校対策にもなる良問です。
ぜひ一度は解いておくとよい問題だと思いますので、解説していきます。
また、本記事と合わせて以下の記事もご覧ください。
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問題の概要
2022年度の青山学院高等部の大問5では次のような問題が出題されました。
AB=3cm, BC=4cmの長方形ABCDがある。
図のように、この長方形をBDを折り目として折り返したとき、点Cが移った点をEとする。
次に、線分DE上に点Fをとり、△BDEを線分BFを折り目として、線分BEが対角線BDと重なるように折る。
このとき、点Eが移った点をGとし、線分FGと辺ADとの交点をHとする。
(1)線分DG、DFの長さをそれぞれ求めよ。
(2)線分FHの長さを求めよ。
(3)△DFHと△BGFの面積比を最も簡単な整数の比で表せ。
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(1)の解説
まずは、問題の図に分かっている情報を書き込んでいきましょう。
そうすると以下の図のようになります(同じ色の辺同士は長さが等しいです)。
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折り返しの問題では、
となります。
ですので、今回の場合は、△BCDと△BEDそして△BEFと△BGFが合同です。
それを踏まえて分かる情報を記入すると、上記の図のようになるわけです。
DGの長さを求める
さて、まずDGの長さを求めましょう。
DG=BD-BGとなるので、BDおよびBGが分かれば求められる
ことが分かります。
BDは三平方の定理を用いて、\(\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)と求まりますね。
BGは上の図より、BCと等しいので、BG=BC=4です。
以上より、DG=BD-BG=5-4=1cmと求まります。
DFの長さを求める
次に、DFの長さを求めます。
そうすると、
三平方の定理より、FGとDGの長さが分かれば、DFの長さが求まる
ことが分かります。
DGの長さは先ほど求めたので、FGの長さを求めていきましょう。
図より、FGとEFの長さは等しいことが分かります。
DE=CD=3cmであり、FG=EF=DE-DF=(3-DF)cmとなりますね。
よって、三平方の定理から、\(FG^2+DG^2=DF^2\)
つまり、\((3-DF)^2+1=DF^2\)が成り立ちます。
これを解き、\(\displaystyle DF=\frac{5}{3}\)を得ます。
(2)の解説
解答の方針を考えると、
FH＝FG-HGより、FGおよびHGが求まればよい
ことが分かります。
よって、FGとHGを求めていきましょう。
まず、FGについては、(1)より、\(FG=3-DF=3-\displaystyle \frac{5}{3}=\frac{4}{3}\)と求まります。
次に、HGを求めます。
そうすると、△DGHと△DABが相似となるので、\(HG:AB=DG:DA\)つまり、
\(HG:3=1:4\)が成立します。
これを解き、\(HG=\displaystyle \frac{3}{4}\)となります。
よって、\(FH=FG-HG=\displaystyle \frac{4}{3}-\frac{3}{4}=\frac{7}{12}\)を得ます。
(3)の解説
面積比の問題ですから、「線分比」の議論から解いていくのが定石です。
いきなり、△DFHと△BGFの面積を比較するのは大変です。
ですので、
△DFHと、それと高さを共有する△DFGの面積比を求め、
次に△DFGと△BGFの面積比を求めてから、△DFHと△BGFの面積を比較する
方針で解いていきましょう。
まず、△DFHと△DFGについてです。
FH:FG\(=\displaystyle \frac{7}{12}:\frac{4}{3}=7:16\)となり、それが両者の面積比と一致します。
よって、\(△DFH=\displaystyle \frac{7}{16}△DFG\)
次に、△DFGと△BGFについてです。
BG:DG=4:1であり、それが両者の面積比と一致します。
よって、\(△BGF=4△DFG\)となります。
以上から、\(△DFH:△BGF=\displaystyle \frac{7}{16}△DFG:4△DFG=7:64\)を得ます。
まとめ：[中学数学]一度は解いておきたい良問！2022青山学院高等部「平面図形」の問題を解説！
いかがでしたか。
今回は、2022年度の青山学院高等部の「平面図形」の問題を解説しました。
自然な発想で解くことができ、三平方の定理や三角形の相似・合同を駆使する演習価値の高い問題だと思います。
公立高校でもこのよう発想が問われるので、公立高校の対策にもなります。
本問に苦戦し、解法のエッセンスを知りたい方はぜひ以下の記事もご覧いただけると幸いです。
引き続き、有名私立校の過去問解説を行っていきますのでお楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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