[中学数学]難関校で頻出!三角形の「内心・外心・重心」を解説!

[中学数学]難関校で頻出!三角形の「内心・外心・重心」を解説!中学数学

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回のテーマは、三角形の「内心・外心・重心」についてです。

難関校ではたびたびこれらを背景とした問題が出題されます。

しかし、知識として持っておけばスムーズに解ける問題も多いです。

そこで今回は、これらの解説を行っていきます。

また、本記事と合わせて以下の記事もご覧ください。

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三角形の「内心」とは?

まず、三角形の「内心」について解説します。

  • 三角形の各辺に接するような円の中心Iを「内心」と呼ぶ
  • 三角形のそれぞれの角の二等分線は1点で交わりそれは「内心」となる
  • 三角形の面積を\(S\)、内接円の半径を\(r\)とすると、以下の式が成立する
    \(r=\displaystyle \frac{2S}{AB+BC+CA}\)
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「内心」が角の二等分線の交点と一致する理由

「内心」がそれぞれの角の二等分線の交点となる理由を説明します。

内心IからAB,BC,CAに下ろした垂線の足をそれぞれH,J,Kとします。

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さて、△BHIと△BJIを考えます。

∠BHI=∠BJI=90°であり、HI=JIで、辺BIを共有しているので、

直角三角形における斜辺と他の1辺それぞれ等しいので、両者は合同です。

よって、∠IBH=∠IBJより、BIは∠Bの二等分線となります。

同様に△ICJと△ICK、および、△IAKと△IAHは合同となるため。

CIが∠Cの、AIが∠Aの二等分線となります。

内接円の半径の導出方法

最後の式の導出に関して、説明を補足します。

\(S=△AIB+△BIC+△CIA\)

となりますね。

△AIBにおいて、ABを底辺と考えれば、高さは内接円の半径\(r\)と一致します。

他の2つの三角形も同様に考えることができるため、

$$S=△AIB+△BIC+△CIA=\frac{r}{2}AB+\frac{r}{2}BC+\frac{r}{2}CA$$

$$r=\frac{2S}{AB+BC+CA}$$

が導かれます。

三角形の「外心」とは?

次に、三角形の「外心」について解説します。

  • 三角形の各点を通る円の中心Pを「外心」と呼ぶ
  • 三角形のそれぞれの辺の垂直二等分線は1点で交わりそれは「外心」となる
  • △ABCの点BからCAに下ろした垂線の足をH, 点PからBCに下ろした垂線の足をJ, 外接円の半径を\(R\)とすると以下の等式が成立する
    \(R=\displaystyle\frac{AB×BC}{2BH}\)
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最後の式の導出を解説します。

[中学数学]難関校で頻出!三角形の「

円周角の定理より、∠BPC=2∠BAHが成り立ちます。

また、△BPCは二等辺三角形なので、\(\displaystyle ∠BPJ=\frac{1}{2}∠BPC\)です。

以上から、∠BAH=∠BPJとなります。

ここで、△ABHと△PBJにおいて、

∠AHB=∠PJB=90°であり、∠BAH=∠BPJも踏まえると、2組の角がそれぞれ等しいので、両者は相似です。

よって、\(AB:BP=BH:BJ\)が成り立ちます。

\(BP=R, \displaystyle BJ=\frac{1}{2}BC\)となるため、

$$AB:R=BH:\frac{1}{2}BC$$

$$R=\frac{AB×BC}{2BH}$$

と求まります。

三角形の「重心」とは?

最後に三角形の「重心」を解説します。

  • ある頂点と、それと向かい合う辺の中点を結ぶ線分を「中線」という
  • 三角形の各頂点から「中線」を引く時、それは1点で交わり、その点を「重心」と呼ぶ
  • 重心は中線を2:1に分ける点となる
  • 特に正三角形の場合、内心・外心・重心は一致する
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重心が中線を2:1に分ける点となることに関して、説明を補足します。

メネラウスの定理より、

$$\frac{CB}{CN}×\frac{MA}{BM}×\frac{QN}{AQ}=1$$

$$\frac{2}{1}×\frac{1}{1}×\frac{QN}{AQ}=1$$

$$\frac{QN}{AQ}=\frac{1}{2}$$

となり、QがANを2:1に分けることが分かります。

BL, CMでも同様の計算によって、Qが各中線を2:1に分けることが分かります。

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入試問題にチャレンジ!

ここでこれまでの理解度の確認ということで、入試問題にチャレンジしてみましょう。

今回は、2018年度立教新座高校の問題を取りあげます。

まずは自力で考えてみてください。

AB=9cm, BC=8cm, CA=7cmである△ABCにおいて、円Iは△ABCの各辺に接し、円Oは△ABCの各頂点を通る。また、円Eは半直線AB, ACおよび辺BCに接している。
(1)△ABCの面積を求めよ。
(2)円Iの半径を求めよ。
(3)円Oの半径を求めよ。
(4)円Eの半径を求めよ。

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(1)の解説

点BからCAに向かって垂線をひき、その足をHとします。

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△ABHで三平方の定理を用いて、\(BH^2=AB^2-AH^2=81-AH^2…①\)が成り立ちます。

△BCHで三平方の定理を用いて、\(BH^2=BC^2-CH^2=64-(7-AH)^2…②\)が成り立ちます。

①と②より、\(81-AH^2=64-(7-AH)^2\)が得られます。

よって、これを解き、\(AH=\displaystyle \frac{33}{7}\)です。

これより、

\begin{eqnarray}
BH&=&\sqrt{3^4-\frac{3^2×11^2}{7^2}}\\
&=&\frac{3}{7}\sqrt{3^2×7^2-11^2}\\
&=&\frac{3}{7}\sqrt{21^2-11^2}\\
&=&\frac{3}{7}\sqrt{(21+11)(21-11)}\\
&=&\frac{3}{7}\sqrt{2^5×2×5}\\
&=&\frac{24\sqrt{5}}{7}
\end{eqnarray}

を得ます。

よって、△ABCの面積は

$$\frac{1}{2}×CA×BH=\frac{1}{2}×7×\frac{24\sqrt{5}}{7}=12\sqrt{5}$$

となります。

BHの計算過程で、乗法公式を駆使しながら、簡単に計算できるよう工夫するとよいです。

(2)の解説

この問題は、「内心」の半径に関する公式を用いればすぐに解けます。

よって、円Iの半径は、

$$\frac{2△ABC}{AB+BC+CA}=\frac{2×12\sqrt{5}}{9+8+7}=\sqrt{5}$$

となります。

(3)の解説

この問題は、「外心」の半径に関する公式を用いればすぐに解けます。

よって、円Oの半径は、

$$\frac{AB×BC}{2BH}=\frac{9×8}{2×\frac{24\sqrt{5}}{7}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}$$

を得ます。

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(3)の解説

点Eから半直線AB, AC, 線分BCに下ろした垂線の足をそれぞれG,H,Jとします。

また、点IからABに下ろした垂線の足をFとします。

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いま、円Eは半直線AB,ACに接するので、AG=AHが成り立ちます。

円Eは半直線ABおよび線分BCに接しているので、BG=BJが成り立ちます。

円Eは半直線ACおよび線分BCに接しているので、CH=CJ=BCーBJ=8-BJが成り立ちます。

以上より、\(AG=AB+BG=AB+BJ=9+BJ\),

\(AH=AC+CH=7+(8-BJ)=15-BJ\)であることを踏まえ、

\(9+BJ=15-BJ\)となるため、\(BJ=3\)を得ます。

そのため、AG=AB+BG=9+3=12となります。

E, Iはともに半直線AB,ACに接する円の中心なので、A, I, Eは一直線上に並ぶことに注意します。

ここで、点IからBC, CAに下ろした垂線の足をそれぞれK, Lとします。

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点Iは△ABCそれぞれの角の二等分線の交点であるため、

BK=BF=(9-AF)および、KC=LC=(7-AF)となります。

よって、BC=BK+KC=(9-AF)+(7-AF)=16-2AF=8となるので、AF=4です。

∠IFA=∠EGA=90°であるから、FIとGEは平行となるので、AF:AG=FI:GEが成り立ちます。

以上から、

$$GE=\frac{AG×FI}{AF}=\frac{12×\sqrt{5}}{4}=3\sqrt{5}$$

を得ます。

ちなみに、円Eの中心を「傍心」と呼びます。

まとめ:[中学数学]難関校で頻出!三角形の「内心・外心・重心」を解説!

いかがでしたか。

今回は、三角形の「内心・外心・重心」について解説しました。

これらを背景とする問題は、難関校ではこぞって出題されます。

ですので、それぞれの性質をしっかりと覚えておくとよいです。

引き続き、平面図形に関する解説を行っていくのでお楽しみに。

最後までご覧いただきありがとうございました。

また、本記事と合わせて以下の記事もご覧ください。

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