[高校入試]入試に必ず出る！関数のグラフと図形の融合問題の攻略法！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです！

今回は関数のグラフと図形の融合問題の攻略法について解説していきます。

この問題は国公立私立問わず必ず出題されます。

難しいと思われがちな問題ではありますが、

時としてひらめきが必要とされる図形の問題よりも完答を狙える問題です。

ですので、解き方をマスターし、ここを得点源にしてしまいましょう！

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

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2022.05.07

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関数のグラフと図形の融合問題の心得

まず、関数のグラフと図形の融合問題の心得について解説します。

この問題で意識すべきことは次の3点です。

$x$座標は文字で置く

関数のグラフと図形の融合問題では必ず座標を聞いてくる問題があります。

このような問題では、$x$座標を文字で置くとよいでしょう。

例えば、次のような問題を考えてみましょう。

(問1)$xy$平面上に、2直線$y=2x+1$と$y=-\frac{1}{2}x+6$がある。
$y=2x+1$のグラフ上に点Pを、$y=-\frac{1}{2}x+6$のグラフ上に点Qをとる。
このとき、PとQの$y$座標を正とする。
また、四角形PRSQが正方形となるように、$x$軸上にRとSをとる。
このとき、Pの座標を求めよ。

この問題ではPの座標を聞いているので、Pの$x$座標を$t$と置いてみます。

Pは$y=2x+1$上の点なので、Pの$y$座標は$(2t+1)$となりますね。

四角形PRSQは正方形になるので、Rの座標は$(t,0)$となります。

このときPRの長さは$(2t+1)$となり、PR=PQ=QSとなるので、

Qの$x$座標は$t+(2t+1)=3t+1$であり、

Qの$y$座標は$(2t+1)$と分かります。

よって、Qは$y=-\frac{1}{2}x+6$上の点であるので、

$$(-\frac{1}{2})×(3t+1)+6=2t+1$$

が成り立ちます。

これを解き、$t=\frac{9}{7}$となり、Pの座標は$(\frac{9}{7},\frac{25}{7})$と求まります。

このように、未知の点の$x$座標を文字で置くと考えやすくなります。

ですので、関数のグラフと図形の融合問題では$x$座標を文字で置くことからスタートしましょう。

縦あるいは横に切って考える

関数のグラフと図形の融合問題では、たびたび直線がつくる三角形や四角形の面積を求める問題が出題されます。

このときは、図形を縦あるいは横に切るかのどちらかを行うと考えやすくなります。

次の問題を考えてみましょう。

(問2)$xy$平面上に3直線$y=3x+1$, $y=\frac{7}{9}x+1$, $y=-\frac{1}{3}x+11$がある。
各直線は下記の図に示すように、点A,B,Cで交わっている。
このとき、△ABCの面積を求めよ。

例えば、ABの長さを求め、Cからそこに下ろした垂線の長さを求めるというやり方もありますが、

かなり骨が折れます。

ですので、この三角形を縦または横に切って求めやすい2つの三角形に分割して考えます。

そこで今回はこの三角形を、Aを通る縦線で三角形を△ABPと△APCの2つに分割します。

まず、△ABPについて、APを底辺と考えると、高さはPとBの$x$座標の差に一致するので、

面積は$\frac{1}{2}×(10-\frac{10}{3})×(3-0)=10$となります。

次に、△APCについて、APを底辺と考えると、高さはCとPの$x$座標の差に一致するので、

面積は$\frac{1}{2}×(10-\frac{10}{3})×(9-3)=20$となります。

これらを足し合わせて、答えは$30$と求まります。

このように、必要に応じて縦あるいは横に切って図形を分割すると計算しやすくなるので、

この方法も実際の問題を解くときに意識してもらえたらと思います。

図形の性質を利用する

グラフと図形の融合問題において、問題を解く際は必ず図形の性質を用いることができないかを考えるようにしましょう。

例えば、次の問題を考えてみます。

(問3)$xy$平面上に、3点A$(-1,1)$, B$(3,5)$, C$(4,2)$がある。
このとき、四角形ABCDが平行四辺形となるように点Dを定める。
Dの座標を求めよ。

この問題は平行四辺形の性質を用いると簡単に解けます。

平行四辺形の成立条件の中に「1組の向かい合う辺が平行で、かつ長さが等しい」というのがあったかと思います。

その性質を利用すれば、ADとBCに注目して、

Bから$x$方向に$1$、$y$方向に$-3$移動するとCに辿り着くため、

Aから$x$方向に$1$、$y$方向に$-3$移動したらDに辿り着かなければなりません。

このことから、D$(0,-2)$と求まります。

このように、関数のグラフと図形の融合問題では図形に関する知識を利用できないかを常に意識することが大切です。

とりわけ、三角形・平行四辺形・台形の性質および等積変形を利用するパターンの問題はたびたび出題されます。

このあたりの問題解説は次回以降に行っていきます。

まとめ：[高校入試]入試に必ず出る！関数のグラフと図形の融合問題の攻略法！

いかがでしたか。関数のグラフと図形の融合問題では

• $x$座標を文字で置く
• 図形を縦または横に切って考える
• 図形の性質を利用できないか考える

この3点を意識することが大切です。

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2022.05.07

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