![[中学数学]誘導の意味するところは？日大習志野高で出題された「平面図形」の過去問を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/12/background-ge7d77a5c1_1280.png?fit=1280%2C719&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、日大習志野高で出題された「平面図形」の過去問を解説していきます。
日大習志野はところどころで難問が出題されることも多いので、しっかりとした対策が必要となります。
今回解説する問題は、誘導が付いていますが、それをどう活用するかが難しいものとなっています。
これまで解説してきたことも踏まえ、その誘導に乗るようにして答えを導いていきましょう。
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問題の概要
今回解説する問題は以下の通りです。
まずは自力で取り組んでみましょう。
AB=8cm, AC=7cm, ∠B=90°の△ABCと正三角形BDCについて、次の問に答えよ。
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(1)辺BCの長さを求めよ。
(2)△ABCの内部に点Pを、△BDCの内部に点Qをとる。
△PBC≡△QDCであるとき、∠PCQの大きさを求めよ。
(3)△ABCの内部に点Rをとる。RA+RB+RCの長さの最小値を求めよ。
(1)の解説
まずは(1)です。
この問題は、典型題ですので必ず正解したいところです。
点AからBCに垂線を下ろし、その足をHとします。
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このとき、△ABHは「90°・60°・30°の直角三角形」となるので、
\(BH=4\)cm, \(CH=4\sqrt{3}\)cmと分かります。
次に、△ACHで三平方の定理を用いると、\(CH=\sqrt{CA^2-AH^2}=1\)cmとなります。
以上より、BC=BH+CH=5cmと求まります。
(2)の解説
次に、(2)です。
∠BCQ=∠ACB-∠QCD=60°-∠QCDとなりますね。
いま、△PBC≡△QDCより、∠PCB=∠QCDが成立します。
以上より、∠PCQ=∠PCB+∠BCQ=60°と求まります。
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(3)の解説
最後に、(3)です。
(2)の結果を活用しながら、考えてゆくのがカギです。
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(2)の結果より、△CPQは正三角形になることが分かります。
そうすると、上の図より、
AP+BP+CP=AP+PQ+QD
となることが分かりますね。
そのため、AP+BP+CPの長さが最小となるとき、A,P,Q,Dの4点が一直線上に並べばよいことがいえます。
そうすると、この問の答えは、線分ADの長さを求めればよいことになります。
点Aから直線BDに垂線を下ろし、その足をIとします。
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このとき、△ABIは「90°・60°・30°の直角三角形」となるので、
\(BI=4\)cm, \(AI=4\sqrt{3}\)cmとなります。
よって、△ADIで三平方の定理を用いて、
\(AD=\sqrt{AI^2+BI^2}=\sqrt{9^2+48}=\sqrt{129}\)cmと求まります。
このように、辺の長さの和を前の設問を活用して、一直線上に出現させることがポイントでした。
まとめ：[中学数学]誘導の意味するところは？日大習志野高で出題された「平面図形」の過去問を解説！
いかがでしたか。
今回は、日大習志野高で出題された「平面図形」の過去問を解説しました。
(2)の誘導の意味が分からず、手が止まってしまった方も多いかと思います。
(2)の結果を用いて、辺の長さの和を一直線上に出現させることができるかがカギでした。
問題に取り組む際は、その誘導から何がいえるのかを考えながら解いてゆくことが大切です。
引き続き、過去問等の解説を行ってゆくのでお楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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