[高校入試]一度は解いておきたい「確率」の応用問題を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回は、「確率」の応用問題を解説していきます。

公立高校では「確率」は小問集合で出てきますが、難関校ではそれだけの独立した問題が度々出題されます。

演習価値が高い問題を集めてみましたので、是非トライしてみてください！

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

日々の学習におすすめの問題集
2017年・岐阜県・大問2
1. (1)・(2)の解説
2. (3)の解説
2021年・立教新座高・大問2
2022年・青山学院高・大問7
まとめ：[高校入試]一度は解いておきたい「確率」の応用問題を解説！

日々の学習におすすめの問題集

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よく出る問題には「頻出」マークがついているなど入試で出やすい問題から対策できるなど、入試本番に向けて効率的に最高レベルの学力を養うことができます。

2017年・岐阜県・大問2

まず、2017年・岐阜県・大問2にトライしてみましょう。

確率と動点の融合問題はたびたび出題されますので、経験しておきたい1問です。

問題はこちらから参照できます。

(1)・(2)の解説

この問題では、さいころが出てきますから、解法の定石に従い、

６×６の表を作って、状況を整理する

やりかたで解いていきましょう。

この表に、2つのさいころを振ったときの点P,Qそれぞれが位置する頂点を書き込んでいきます、

→赤のさいころの目 ↓白のさいころの目	1	2	3	4	5	6
1	P:A Q:B	P:B Q:B	P:C Q:B	P:D Q:B	P:A Q:B	P:B Q:B
2	P:A Q:C	P:B Q:C	P:C Q:C	P:D Q:C	P:A Q:C	P:B Q:C
3	P:A Q:D	P:B Q:D	P:C Q:D	P:D Q:D	P:A Q:D	P:B Q:D
4	P:A Q:A	P:B Q:A	P:C Q:A	P:D Q:A	P:A Q:A	P:B Q:A
5	P:A Q:B	P:B Q:B	P:C Q:B	P:D Q:B	P:A Q:B	P:B Q:B
6	P:A Q:C	P:B Q:C	P:C Q:C	P:D Q:C	P:A Q:C	P:B Q:C

(1)に関しては、赤で示した箇所の2通りが考えられるので、求める確率は以下の通りです。
$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$

(2)に関しては、緑で示した箇所の9通りが考えられるので、求める確率は以下の通りです。
$$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$

(3)の解説

上記の表を、P,Qそれぞれの得点でまとめ直すと以下のようになります。

→赤のさいころの目 ↓白のさいころの目	1	2	3	4	5	6
1	P:1 Q:2	P:2 Q:2	P:3 Q:2	P:4 Q:2	P:1 Q:2	P:2 Q:2
2	P:1 Q:3	P:2 Q:3	P:3 Q:3	P:4 Q:3	P:1 Q:3	P:2 Q:3
3	P:1 Q:4	P:2 Q:4	P:3 Q:4	P:4 Q:4	P:1 Q:4	P:2 Q:4
4	P:1 Q:1	P:2 Q:1	P:3 Q:1	P:4 Q:1	P:1 Q:1	P:2 Q:1
5	P:1 Q:2	P:2 Q:2	P:3 Q:2	P:4 Q:2	P:1 Q:2	P:2 Q:2
6	P:1 Q:3	P:2 Q:3	P:3 Q:3	P:4 Q:3	P:1 Q:3	P:2 Q:3

Pの得点がQの得点より大きくなるのは、青色で示した箇所の10通りなので、求める答えは、
$$\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$$
となります。

2021年・立教新座高・大問2

次に、2021年の立教新座高校の大問2に挑戦してみましょう。

この問題のように、数をならべて「～の倍数になる並べ方」を求める問題はしばしば難関校で出題されます。

その特訓としては良い問題ですから、是非取り組んでみてください。

(問)1個のさいころを3回投げて、1回目に出た目の数を百の位、2回目に出た目の数を十の位、3回目に出た目の数を一の位とする3けたの正の整数をつくるとき、次の確率を求めよ。

(1)450以上

(2)4の倍数

(3)各位の和が15

(4)3の倍数

(1)の解説

この問題では、百の位の数に注目するとよいでしょう。

百の位の数が5または6の場合、十の位と一の位にどの数が入っても450を超えます。

よって、積の法則より$2×6×6$通りです。

次に、百の位の数が4のときを考えます。

このとき、十の位の数が5以上であれば一の位の数は何でもよいため、

積の法則より$1×2×6$通りです。

さいころの目の出方は$6^3$通りゆえ、求める確率は以下のようになります。

$$\frac{2×6×6+1×2×6}{6^3}=\frac{7}{18}$$

(2)の解説

各倍数の判定法はこちらの記事でまとめておりますので、是非ご覧ください。

できる整数が4の倍数となるとき、「下2けたの数が4の倍数」となります。

このとき、

十の位が1のとき、一の位は2,6であればよい→2通り
十の位が2のとき、一の位は4であればよい→1通り
十の位が3のとき、一の位は2,6であればよい→2通り
十の位が4のとき、一の位は4であればよい→1通り
十の位が5のとき、一の位は2,6であればよい→2通り
十の位が6のとき、一の位は4であればよい→1通り

となり、$(2+1+2+1+2+1)=9$通りとなります。

百の位の数は何でもよいため、できる3けたの整数が4の倍数となる場合の数は$6×9$通りです。

以上より、求める確率は以下のようになります。

$$\frac{6×9}{6^3}=\frac{1}{4}$$

(3)の解説

問題を考えやすくするために、6×6の表を作り、百の位の数と十の位の数の和をまとめます。

百の位の数→ ↓十の位の数	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

さいころの目の最大値は6ですから、各位の和が15になるとき、百の位の数と十の位の数の和は9以上でないといけません。

百の位の数と十の位の数の和が9のとき、1の位の数は6
百の位の数と十の位の数の和が10のとき、1の位の数は5
百の位の数と十の位の数の和が11のとき、1の位の数は4
百の位の数と十の位の数の和が12のとき、1の位の数は3

となり、百の位の数と十の位の和が決まれば、1の位の数は1通りに決まります。

よって、求める場合の数は$4+3+2+1=10$通りです。

よって、求める確率は以下のようになります。

$$\frac{10}{6^3}=\frac{5}{108}$$

(4)の解説

できる整数が3の倍数となるとき、「各位の和が3の倍数」となります。

上記の表を用いて考えれば、

百の位の数と十の位の和が2のとき、一の位の数は1,4
百の位の数と十の位の和が3のとき、一の位の数は3,6
百の位の数と十の位の和が4のとき、一の位の数は2,5
百の位の数と十の位の和が5のとき、一の位の数は1,4
百の位の数と十の位の和が6のとき、一の位の数は3,6
百の位の数と十の位の和が7のとき、一の位の数は2,5
百の位の数と十の位の和が8のとき、一の位の数は1,4
百の位の数と十の位の和が9のとき、一の位の数は3,6
百の位の数と十の位の和が10のとき、一の位の数は2,5
百の位の数と十の位の和が11のとき、一の位の数は1,4
百の位の数と十の位の和が12のとき、一の位の数は3,6

となり、百の位の数と十の位の和に対して、一の位の数は2通り定まります。

また、先ほどの表を用いて、百の位の数と十の位の和に関して目の出方を以下の表にまとめます。

百の位の数と十の位の和	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
目の出方	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

よって、できる整数が3の倍数となる場合の数は、
$2×(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1)=2×36$通りです。

よって、求める確率は以下のようになります。

$$\frac{2×36}{6^3}=\frac{1}{3}$$

2022年・青山学院高・大問7

最後に、2022年の青山学院高等部の大問7に取り組んでみましょう。

「場合の数」の中でも変化球的な問題であり、良い問題です。

是非、挑戦してみてください。

2022_青山学院高等部_場合の数ダウンロード

問1の解説

$a_1$は1段上るしかあり得ないので、$a_1=1$です。

$a_2$は、①を2回繰り返す、または②を1回行う上り方の2通りの上り方しかあり得ないので、$a_2=2$です。

問2の解説

もし9段目を経て、10段目に行くには①を1回行えばよいので、1通りの上り方があります。

よって、$x=1$です。

もし、8段目から9段目を飛ばして10段目に行くには、

②を1回行う上り方の1通りの上り方しかあり得ないので、$y=1$です。

ここでのポイントは、

9段目を飛ばすか、飛ばさないかで場合分けしている

ということです。

前者は9段目を経て10段階段を上る方法と、後者では9段目を飛ばして10段上る方法を考えているのです。

問3・問4の解説

上記を一般化し、$(n+2)$段目まで上るとき、

$(n+1)$段目を経由するときは、①を1回行えばよいので、$a_{n+1}$通りの上り方がある。
$n$段目から$(n+1)$段目を飛ばしてゆくときは、②を1回行えばよいので、$a_{n}$通りの上り方がある。

以上から、$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$という関係式が得られます。

よって、
\begin{cases}
a_7=a_6+a_5\\
a_8=a_7+a_6\\
a_9=a_8+a_7\\
a_{10}=a_9+a_8 \\
\end{cases}
となるので、
\begin{cases}
a_8=a_7+a_6=(a_6+a_5)+a_6=2a_6+a_5 \\
a_9=a_8+a_7=(2a_6+a_5)+(a_6+a_5)=3a_6+2a_5
\end{cases}
となり、これを問2の結果に代入して、
\begin{eqnarray}
a_{10}&=&a_9+a_8\\
&=&(3a_6+2a_5)+(2a_6+a_5)\\
&=&5a_6+3a_5
\end{eqnarray}
となって、$u=5,v=3$です。

次に、問4ですが、$a_5,a_6$が分かれば問2より答えが求まるため、
\begin{cases}
a_3=a_2+a_1=3 \\
a_4=a_3+a_2=5\\
a_5=a_4+a_3=8\\
a_6=a_5+a_4=13\\
\end{cases}
より、$a_{10}=5×13+3×8=89$通りとなります。