[中学数学]テストによく出る「一次関数の応用問題」の解き方を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回のテーマは、「一次関数の応用問題」です。

動点の問題や、水槽に関する問題等はいろいろなところで出題されます。

しかしながら、これらを苦手とする方も多いです。

そこで今回はそれらを含め、テストによく出る「一次関数の応用問題」の解き方を解説していきます。

また、本記事と合わせて以下の記事も是非ご覧ください。

1回10分・約2週間で入試レベルの「関数」がスラスラ解ける！
まずは問題に挑戦してみよう！
【1】の解説
【2】の解説
【3】の解説
まとめ：[中学数学]テストによく出る「一次関数の応用問題」の解き方を解説！

1回10分・約2週間で入試レベルの「関数」がスラスラ解ける！

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まずは問題に挑戦してみよう！

まずは以下の問題に挑戦してみましょう！

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【1】の解説

【1】は頻出の「動点」に関する問題です。

この問題では、

動点が、「どの辺上にいるかで場合分け」する

ことが鉄則です。

これを踏まえ、問題を解いていきましょう。

問1の解説

$0≦x≦2$では、Pの速さが3[cm/秒]より、辺AB上にそれは位置します。

このとき、$AP=3x$となりますから、$BP=AB-AP=6-3x$[cm]です。

よって、△PBCの面積$y$[cm²]は次のように表せます。
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{2}×BC×BP\\
&=&\frac{1}{2}×18×(6-3x)\\
&=&-27x+54
\end{eqnarray}

問2の解説

$8≦x≦10$では、点Pは辺CD上に位置します。

このとき、PCの長さはどうなるでしょうか。

以下の図の赤線部分の長さが$3x$[cm]であり、AB+BC=18+6=24[cm]となるので、

$PC=3x-(AB+BC)=3x-24$となります。

以上より、
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{2}×BC×PC\\
&=&\frac{1}{2}×18×(3x-24)\\
&=&27x-216
\end{eqnarray}
となります。

問3の解説

点Pが辺BC上に位置するとき、つまり$2≦x≦8$では、三角形ができないので面積は0です。

点Pが辺AD上に位置するとき、つまり$10≦x≦16$では、△PBCの高さは一定となるので、
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{2}×BC×AB\\
&=&\frac{1}{2}×18×6\\
&=&54
\end{eqnarray}

以上より、$x,y$の関係をグラフに表すと以下のようになります。

問4の解説

問3のグラフに$y=12$のグラフを重ねてかいてみると以下のようになります。

そうすると、$y=12$となるのは、$0≦x≦2$および$8≦x≦10$のときであると分かります。

$0≦x≦2$では、$y=-27x+54$であり、この式に$y=12$を代入して解くと
\begin{gather}
-27x+54=12\\
x=\frac{14}{9}
\end{gather}
を得ます。

また$8≦x≦10$では、$y=27x-216$であり、この式に$y=12$を代入して解くと
\begin{gather}
27x-216=12\\
x=\frac{76}{9}
\end{gather}
を得ます。

【2】の解説

【2】は「水槽」に関する問題です。

この類の問題では、

グラフが折れ曲がる点に注目する

ことがポイントです。

問1の解説

グラフが折れ曲がる点に注目すれば、$0≦x≦15$までは区画Cの水位が時間に比例することが読み取れます。

これ以降、$x≦40$までは区画Cの水位は変化しなくなります。

これらより、

注入される水が区画Bへとあふれてしまい、区画Cの水位が変化しなくなる

ことがいえます。

よって、$x=15$までに注入された水の体積は$3×5×2[cm^3]$となることから、1秒あたりに注入される水の体積は以下のようになります。
$$\frac{3×5×2}{15}=2[cm^3]$$

問2の解説

水を入れ続けてゆくと、グラフに示されている範囲では、

$40≦x≦120$では区画B・Cに水が溜まっていき、$120≦x$では水が区画Aへとあふれてゆく

ことが分かります。

水が区画Aへとあふれていくとき、区画Cの水位は6[cm]となるため、仕切りYの高さは6[cm]となります。

問3の解説

いま、求める値を$x$とおきます。

$15≦x≦40$では区画Bにのみ水がたまっていくので、

($15≦x≦40$で注入された水の体積)
＝(底面積が$5x$[cm²]で、高さが2[cm]の直方体の体積)

ですから、
\begin{gather}
5x×2=2×(40-15)\\
x=5[cm]
\end{gather}
と求まります。

【3】の解説

最後に扱うのは「ダイヤグラム」に関する問題です。

この問題では、

運行状況をグラフに書き込み、各部分の直線の式を求めて、すれ違う時刻を求める
「両者がすれ違う」＝「グラフの交点」

を意識するのが鉄則です。

さて、本題に入ります。

列車Xは「30分で50[km]進む」ことに注意して、列車Yの運行状況を問題のグラフに書き加えると以下のようになります。

この図より、列車Xと列車Yが3回目にすれ違うとき、午前9時からの経過時間が85分から90分の間であることが分かります。

いま、$x$を「午前9時からの経過時間[分]」、$y$をP駅からの距離[km]とおきます。

$75≦x≦105$で、列車Xにおける$x,y$の関係を式に表すと、$(75,0),(105,50)$を通るので、
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{50-0}{105-75}(x-75)\\
&=&\frac{5}{3}(x-75)\\
&=&\frac{5}{3}x-125\\
\end{eqnarray}
となります。

$70≦x≦100$で、列車Yにおける$x,y$の関係を式に表すと、$(70,50),(100,0)$を通るので、
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{0-50}{100-70}(x-100)\\
&=&-\frac{5}{3}(x-100)\\
&=&-\frac{5}{3}x+\frac{500}{3}\\
\end{eqnarray}
となります。

「一次関数の式の決定」に関して、こちらの記事も是非ご覧ください。

求めた2つの直線の方程式を連立させて解くと、
\begin{gather}
\frac{5}{3}x-125=-\frac{5}{3}x+\frac{500}{3}\\
x-75=-x+100\\
2x=175\\
x=\frac{175}{2}=87\frac{1}{2}
\end{gather}
となります。

ここで、仮分数を帯分数に直すのがポイントです。

いま$x$の単位は分であるため、$\frac{1}{2}$分を秒数に直すと、
$$\frac{1}{2}×60=30$$
となります。

以上から、3回目に両者がすれ違うのは午前9時から87分30秒を経過したときなので、求める時刻は午前10時27分30秒となります。