![[中学数学]知っておくと便利！「球」・「円錐」の裏ワザを解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/09/shapes-gcd06ebeb3_1920.jpg?fit=1920%2C1104&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回のテーマは、「球」・「円錐」に関する裏ワザについてです。
これまで、あまり球や円錐について触れてきませんでしたが、これらが関わる問題でも知っておくと便利な裏ワザがあります。
今回は、それらにテーマを絞って解説していきます。
ぜひ、日々の学習にお役立てください。
また、本記事と合わせて以下の記事も是非ご覧ください。
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「円錐」に関する裏ワザ
まず、円錐に関する裏ワザをご紹介します。
底面の半径が\(r\)、母線の長さが\(l\)である円錐において、
- 体積は\(\displaystyle \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{l^2-r^2}\)
- 側面積は\(\pi lr\)、すなわち、「\(\pi\)×母線の長さ×底面の半径」
と求められる。
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体積に関しては、円錐の頂点から底面に垂線を下ろすと、
三平方の定理より、その長さは\(\sqrt{l^2-r^2}\)と求まります。
これが高さとなるので、今説明した体積の公式が導かれます。
続いて、側面積についてです。
側面はおうぎ形となり、いまその中心角を\(a°\)とします。
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側面のおうぎ形の半径は母線の長さと一致しますので、それは\(l\)となります。
そのおうぎ形の弧の長さと、底面の円周の長さは一致しますので、
$$2\pi r=2\pi l × \frac{a}{360}$$
$$\frac{a}{360}=\frac{r}{l}$$
が成り立ちます。
よって、これを用いると側面積は、
$$\pi l^2 ×\frac{a}{360}=\pi l^2 ×\frac{r}{l}=\pi lr$$
と求められます。
「球」に関する裏ワザ
次に「球」に関する裏ワザを解説します。
球の体積および表面積の公式は必ず覚えましょう。
また、円錐や円柱の中に球が含まれるといった問題がよく出題されます。
そのような問題への基本的なアプローチとして、「球の中心を通る平面」で切断することを覚えておきましょう。
以下では例題を通じて、それに関して詳しく解説していきます。
「球」に関する例題を考えてみよう！
次の問題を考えてみましょう。
(問)母線の長さが5, 底面の半径が3である円錐がある。
その円錐内に半径の等しい球が3つあり、これらは互いに接しているとともに、円錐にも接している。
このとき、球の半径を求めよ。なお、3つの球の中心と底面の円の中心は同一平面上に存在するものとする。
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例題の解説
解法の定石に従い、「球の中心を通る平面」で円錐を切断します。
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そうすると、△BH2O2と△BH3O2は合同となるので、BH2=BH3=\(3-r\)となります。
H1H2の長さはO1O2の長さに等しく、各球が互いに接するので、O1O2の長さは各球の半径の和に等しくなります。
よって、H1H2=O1O2=\(2r\)です。
以上より、AH1=5-H1H2-BH2=\(2-r\)と求まります。
また、△AH1O1と△AH0Bは相似なので、AH1:H1O1=AH0:BH0となります。
つまり、\((2-r):r=4:3\)を解いて、\(r=\displaystyle \frac{6}{7}\)を得ます。
このように、球がからむ問題では、「球の中心を含む平面」で切断することを意識することが大切です。
まとめ：[中学数学]知っておくと便利！「球」・「円錐」の裏ワザを解説！
いかがでしたか。
今回は「球」と「円錐」に関する裏ワザをご紹介しました。
これらを知っておくと、時短になる他、難問を崩す足がかかりとなります。
今回で一通り「空間図形」に関する解法についての解説はすべてになります。
今後はこれまでご紹介してきた解法を用いて、過去問等の解説を行っていきますのでお楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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