![[中学数学]定期テストから入試対策に！よく出る「平方根の応用問題」を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/06/board-g77358d899_1920.jpg?fit=1920%2C1008&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回のテーマは、「平方根の応用問題」です。
定期テストでは必ず出題されますし、入試でも出題されることがあります。
最後まで読んでもらえれば、平方根の応用問題は入試まで対応できます。
平方根の応用問題も割とパターン化しているので、コツをつかめば得点源にもなります。
それでは、早速解説に入っていきましょう。
また、本記事と合わせて以下の記事をご覧いただけるとより効果的です。
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まずは自力で挑戦してみよう
まずは、以下の問題を自力で挑戦してみましょう。
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後半の問題は難しいですが、数学が好きな人や得意な人はぜひ考えてみてください。
【1】の解説
【1】は「式の値」に関する問題です。
この手の問題では、
ことをこころがけましょう。
また、対称式とは以下のことをいいます。
これらを念頭において、問題を解いていきます。
問1の解説
上記の解法原則通り、\(x^2-2x+1\)が因数分解できないか考えましょう。
\(x^2-2x+1=(x-1)^2\)ですから、これに\(x=\sqrt{2}-1\)を代入して、
\begin{eqnarray}
(x-1)^2&=&(\sqrt{2}-1+1)^2\\
&=&2
\end{eqnarray}
となります。
問2の解説
\(x,y\)を入れ替えてももとの式と一緒になるので、この式は対称式です。
ですので、\((x+y),xy\)でこの式を表していきます。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}&=&\frac{x^2+y^2}{(xy)^2}\\
&=&\frac{x^2+2xy+y^2-2xy}{(xy)^2}\\
&=&\frac{(x+y)^2-2xy}{(xy)^2}\\
\end{eqnarray}
と、基本対称式のみを含んだ式に変形できました。
ここで、
\begin{cases}
x+y=(\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2\sqrt{5} \\
xy=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2
\end{cases}
ですから、これらを上記の式に代入して、
\begin{eqnarray}
\frac{(x+y)^2-2xy}{(xy)^2}&=&\frac{(2\sqrt{5})^2-2×2}{2^2}\\
&=&4
\end{eqnarray}
を得ます。
問3の解説
問題で与えられた式に直接代入しても解けますが、計算量が増えてしまい、時間がかかってしまいます。
このような問題では、
ことが大切です。
この具体的内容を順にみていきましょう。
\(x=\sqrt{3}-4\)において、\(4\)を左辺に移項します。
そうすると、\(x+4=\sqrt{3}\)を得ます。
このとき、
式変形を行うときは、ルートを孤立させる
ことがポイントです。
\(x+4=\sqrt{3}\)の両辺を2乗して、
\begin{eqnarray}
x^2+8x+16=3\\
x^2=-8x-13
\end{eqnarray}
を得ます。
この式の両辺に\(x\)をかけ、\(x^2=-8x-13\)を用いると、
\begin{eqnarray}
x^3&=&-8x^2-13x\\
&=&(-8)×(-8x-13)-13x\\
&=&51x+104
\end{eqnarray}
以上から、
\begin{eqnarray}
x^3+5x^2+2&=&(51x+104)+5×(-8x-13)+2\\
&=&11x+41\\
&=&11×(\sqrt{3}-4)+41\\
&=&11\sqrt{3}-3
\end{eqnarray}
難関校を志望される方は、「次数下げ」のテクニックも習得しておくとよいでしょう。
【2】の解説
次は「根号が外れる条件」を考察する問題を解説していきます。
この問題では、
の3点を意識しましょう。
問1の解説
解法の定石通り、根号内の数を素因数分解して、\(45=3^2×5\)ですから、
$$\sqrt{45n}=3\sqrt{5n}$$
となります。
根号内の数が平方数となるときに根号が外れるので、\(n\)の最小値は\(5\)となります。
ちなみに、\(k\)を正の整数として、\(\sqrt{45n}\)が整数となるとき、\(n=5k^2\)となります。
問2の解説
この問題では分母に\(3\)があります。
これだと考えづらいので、\(3\)を無理やり根号内に入れてしまいます。
そうすると、
\begin{eqnarray}
\frac{\sqrt{80n}}{3}&=&\sqrt{\frac{80n}{9}}\\
&=&4\sqrt{\frac{5n}{9}}
\end{eqnarray}
根号内が平方数となるとき、分母の9が約分されないといけません。
そう考えれば、\(n\)は9を因数に持たなければなりません。
また、\(5\)を根号の外に出すためには、\(n\)は5を因数に持たなければなりません。
以上より、\(n\)の最小値は\(9×5=45\)です、
ちなみに\(k\)を正の整数として、この式が整数となるとき、\(n=45k^2\)となります。
この問題は分母に3があるのが、引っ掛けでした。
問3の解説
この問題では、根号内が0以上になることに注目して解いていきましょう。
\(n≧12\)のとき、\(23-2n<0\)となりますから、
\(1≦n≦11\)の範囲で、\((23-2n)\)が平方数になるときを調べます。
以下に、\(n\)の値および\((23-2n)\)の値の一覧を示します。
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| \(23-2n\) | 21 | 19 | 17 | 15 | 13 | 11 | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 |
上記の表から、\((23-2n)\)が平方数となるとき、\(n=7,11\)となることが分かります。
問4の解説
この問題は、これまでとってきたやり方を用いるのは難しそうです。
ここで、\(\sqrt{n^2+12}=m\)(\(m\):正の整数)とおき、両辺を2乗し整理すると、
\begin{gather}
n^2+12=m^2\\
m^2-n^2=12\\
(m+n)(m-n)=12
\end{gather}
となり、この問題は見覚えのある整数問題に帰着します。
明らかに\(m>n\)なので、\(m+n>m-n>0\)に注意すると、
$$(m+n,m-n)=(12,1),(6,2),(4,3)$$
となり、この中で\(m,n\)が正の整数になるものは\((m,n)=(4,2)\)のみです。
よって、答えは\(n=2\)となります。
このような問題では、
とよいでしょう。
問5の解説
この問題では以下のように式変形してみます。
\begin{eqnarray}
\sqrt{\frac{n^2+297}{n^2+1}}&=&\sqrt{\frac{(n^2+1)+296}{n^2+1}}\\
&=&\sqrt{1+\frac{296}{n^2+1}}
\end{eqnarray}
根号内は整数でなければならないので、\(\frac{296}{n^2+1}\)は整数になります。
そうすると、\((n^2+1)\)は\(296\)の約数ということになります。
下の表に、\(296\)の約数とそれぞれの約数を与える\(n\)の値の一覧を示します。
なお、\(296=2^3×37\)です。
| 約数 | 1 | 2 | 4 | 8 | 37 | 74 | 148 | 296 |
| \(n\)の値 | \(0\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | \(\sqrt{7}\) | \(6\) | \(\sqrt{73}\) | \(\sqrt{147}\) | \(\sqrt{295}\) |
\(n\)は正の整数ですから、上記の表から\(n=1\)または\(n=6\)に限られます。
\(n=1\)のとき、
\begin{eqnarray}
\sqrt{1+\frac{296}{n^2+1}}&=&\sqrt{1+\frac{296}{2}}
&=&\sqrt{149}
\end{eqnarray}
となり、整数にならず不適です。
\(n=6\)のとき、
\begin{eqnarray}
\sqrt{1+\frac{296}{n^2+1}}&=&\sqrt{1+\frac{296}{37}}
&=&3
\end{eqnarray}
となり、整数になります。
以上から、\(n=6\)と求まります。
この問題からいえることとして、
とよいでしょう。
【3】の解説
【3】は「整数部分」と「小数部分」に関する問題です。
これらの問題では、以下のことを意識しましょう。
問1の解説
\(\sqrt{n}\)の整数部分が\(11\)なので、上記の解法の定石を用い、各辺を2乗して、
\begin{gather}
11≦\sqrt{n}<11+1\\
11^2≦n＜12^2\\
121≦n<144
\end{gather}
となります。
答えは、この不等式を満たす、\(121\)以上\(143\)以下の整数となります。
問2の解説
\(\sqrt{24}\)の小数部分を求めるときは、まずこれの整数部分を求めます。
これを求めるときは、
とよいです。
平方数でサンドイッチし、各辺でルートをとると、
\begin{gather}
4^2<24<5^2\\
4<\sqrt{24}<5
\end{gather}
となりますね。
よって、\(\sqrt{24}\)の整数部分は\(4\)ですから、\(x=\sqrt{24}-4\)となります。
以上から、
\begin{eqnarray}
x^2-5x+6&=&(x-2)(x-3)\\
&=&(\sqrt{24}-4-2)(\sqrt{24}-4-3)\\
&=&(\sqrt{24}-6)(\sqrt{24}-7)\\
&=&(\sqrt{24})^2-(6+7)\sqrt{24}+(-6)×(-7)\\
&=&66-26\sqrt{6}
\end{eqnarray}
となります。
問3の解説
この問題においても、\(p\)の整数部分を求めることからスタートしましょう。
小数部分では、\(0\)以上\(1\)未満でなければならないので、\(0≦b<1\)が成立します。
\(p^2+b^2=44\)より、\(p^2=44-b^2\)ですから、\(0≦b<1\)を踏まえると
\begin{gather}
44-1<p^2≦44-0\\
43<p^2≦44\\
\end{gather}
となりますね。
この不等式を問2と同じように、平方数でサンドイッチすると
\begin{gather}
36<43<p^2≦44<49\\
36<p^2<49\\
6<p<7
\end{gather}
より、\(p\)の整数部分は6です。
そうすると、\(p=6+b\)となるため、これを\(p^2+b^2=44\)に代入すると、
\begin{gather}
(6+b)^2+b^2=44\\
b^2+6b-4=0\\
b=-3\pm{\sqrt{3^2-(-4)×1}}=-3\pm{\sqrt{13}}
\end{gather}
を得ます。
この際、解の公式の裏ワザを利用しました。
\(0≦b<1\)ですから、これを満たすのは\(b=-3+\sqrt{13}\)です。
以上より、
\begin{eqnarray}
p&=&6+b\\
&=&6+(-3+\sqrt{13})\\
&=&3+\sqrt{13}
\end{eqnarray}
と求まります。
まとめ：[中学数学]定期テストから入試対策に！よく出る「平方根の応用問題」を解説！
いかがでしたか。
今回は、「平方根の応用問題」を解説しました。
今回の内容で、定期テストから入試で出題される問題は網羅できているので、今回の問題が一通り解けるようになれば怖いものなしです。
ですので、一度でできなかったとしても繰り返し解くことが大切です。
最後までご一読いただきありがとうございました。
また、本記事と合わせて以下の記事をご覧いただけるとより効果的です。
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