[中学数学]全くわからない方必見！「証明問題」の解き方を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回のテーマは、「証明問題」の解き方についてです。

「証明がわからない」「自分で全く書けない」という方も多いのではないでしょうか。

証明はコツをつかめば、自分ですらすらと書けるようになります。

それでは、解説に入っていきましょう。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

数学が苦手な方に最適な書籍
「証明問題」を解く手順
「証明」の書き方
例題にチャレンジしてみよう！
【1】の解説
1. 証明方針の検討
2. 証明の例
【2】の解説
1. 証明方針の検討
2. 証明の例
まとめ：[中学数学]全くわからない方必見！「証明問題」の解き方を解説！

数学が苦手な方に最適な書籍

数学が苦手な方に最適な書籍をご紹介します。

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難しい用語は排除し、図等を通して分かりやすく説明しているので、苦手な人でもついていけるかと思います。

「証明問題」を解く手順

「証明問題」を解く際は以下の手順を踏んで解いていくとよいでしょう。

証明すべきこと(「結論」)を確認する。
分かっている情報を図に書き込み、「結論」を証明するための道筋を考える。
このとき、「三角形の合同(条件)」・「三角形の相似(条件)」・「平行四辺形の成立条件」などに注目する。
道筋ができたら、「証明するのに必要な材料」→「根拠」→「結論」の順に証明を記述する。

面積比の記事において、「逆算思考」の重要性を説きました。

証明問題も同じで、結論を確認し、それを導くためにどうしたらよいかを考えることが大切です。

「証明」の書き方

続いて、「証明」の書き方についてまとめます。

三角形の合同や相似を示す場合は、注目する三角形を宣言する。
結論を示すための「材料」を記述する。
このとき、
問題で与えられている条件を使うときは「仮定より ○○＝××」と書き、
図形等の性質を用いるときは「(図形等の性質より) ○○＝××」と書く。
また、2つの三角形で1つの辺を共有するときは、「○○は共通」と書く。
2.を受け、「根拠」→「結論」を述べる。

証明の書き方については、上記のようなフォーマットが決まっているので、これを覚えてしまいましょう。

証明問題を解く手順およびその具体的な書き方を例題を通して、みていきます。

例題にチャレンジしてみよう！

次の2問の証明を考えてみましょう。

証明_例題ダウンロード

どちらも教科書等でよく見る問題かと思います。

まずはこれらの証明を書けるようになることが大切です。

【1】の解説

証明方針の検討

この問題で示すべき結論は「AB=AC,∠ABH=∠ACH」ですね。

これを示すための道筋を考えていきましょう。

分かっている情報を図示すると、以下のようになります。

これらの結論を示すには、△ABHと△ACHの合同を示せばよいでしょう。

その証明にあたり、どの合同条件が使えそうでしょうか。

そうすると、情報を書き込んだ図から、「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」が使えそうなことが分かりますね。

これらを踏まえ、証明を書いていきます。

証明の例

△ABHと△ACHにおいて、
仮定より　AB=AC　　　…①
　　　　　∠BAH=∠CAH…②
AHは共通　　　　　　　…③
①～③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABH≡△ACH
よって、AB=AC,∠ABH=∠ACH

この問題では三角形の合同を示しているので、注目する三角形をまず明示します。

次に証明の材料を述べる部分においては、

①と②は問題の条件から分かることを記載しているので「仮定より」と表記しており、

両者でAHが共通であるため、「AHは共通」と明記しています。

ここで材料がそろったので、

適用する三角形の合同条件を述べて△ABHと△ACHが合同であると書き、

その後にこの問題で示したい結論を述べます。

【2】の解説

証明方針の検討

この問題で示すべき結論は「AE=BD」ですね。

これを示すための道筋を考えていきましょう。

分かっている情報を図示すると、以下のようになります。

結論を示すには、これら2つの辺がからんだ△ACEと△BCDの合同を示せばよいでしょう。

このとき、AC=BC, CE=CDとなるのは明らかに分かりますね。

そうすると、合同条件として「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」が使えそうです。

ここで、∠ACEと∠BCDに注目すると、

∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝∠ACD＋60°
∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝60°＋∠ACD

となり、これら2つの角が等しくなるので、「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」が使えます。

これらを踏まえ、証明を書いていきましょう。

証明の例

△ACEと△BCDにおいて、
仮定より AC=BC…①
　　　　 CE=CD…②
∠ACE＝∠ACD＋∠DCE…③
∠BCD＝∠BCA＋∠ACD…④
△ACEと△BCDは正三角形なので、∠DCE=∠BCA=60°…⑤
③～⑤より、∠ACE＝∠BCD…⑥
①,②,⑥より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ACE≡△BCD
よって、AC=BC

この問題においても三角形の合同を示すので、まず注目する三角形を明示します。

AC=BC, CE=CDに関しては問題文から明らかですから「仮定より」と書いて問題ありません。

∠ACE＝∠BCDであることを書くのがやや厄介です。

このような場合では、

注目する角を2つの角の足し算で表す→どことどこの角度が等しいか述べる→注目する角が等しい

という順で書くとよいです。

ですので、まず∠ACE,∠BCDそれぞれを

∠ACE＝∠ACD＋∠DCE
∠BCD＝∠BCA＋∠ACD

と、2つの角の足し算で表します。

次に、∠DCE=∠BCA=60°であることを述べます。

このとき、これを導くのに「正三角形の性質」を用いているので、「△ACEと△BCDは正三角形なので」とその前に記述しています。

これらを踏まえて、「③～⑤より、∠ACE＝∠BCD…⑥」と述べています。

そして合同条件を述べて△ACE≡△BCDと書き、最後に結論を述べます。

このように角度を分解するパターンはよく出てくるため、いま説明した書き方を覚えておくとよいでしょう。

まとめ：[中学数学]全くわからない方必見！「証明問題」の解き方を解説！

いかがでしたか。

今回は、「証明問題」の解き方について解説しました。

証明問題を解く際は、

証明すべきこと(「結論」)を確認する。
分かっている情報を図に書き込み、「結論」を証明するための道筋を考える。
このとき、「三角形の合同(条件)」・「三角形の相似(条件)」・「平行四辺形の成立条件」などに注目する。
道筋ができたら、「証明するのに必要な材料」→「根拠」→「結論」の順に証明を記述する。

という手順を踏むようにしましょう。

また、証明を書くときは、

三角形の合同や相似を示す場合は、注目する三角形を宣言する。
結論を示すための「材料」を記述する。
このとき、問題で与えられている条件を使うときは「仮定より ○○＝××」と書き、
図形等の性質を用いるときは「(図形等の性質より) ○○＝××」と書く。
また、2つの三角形で1つの辺を共有するときは、「○○は共通」と書く。
2.を受け、「根拠」→「結論」を述べる。

を意識しましょう。

引き続き「証明問題」に関する解説を行ってゆくので、お楽しみに。

本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。