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[中学数学]全くわからない方必見!「証明問題」の解き方を解説!

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[中学数学]全くわからない方必見!「証明問題」の解き方を解説!図形

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回のテーマは、「証明問題」の解き方についてです。

「証明がわからない」「自分で全く書けない」という方も多いのではないでしょうか。

証明はコツをつかめば、自分ですらすらと書けるようになります。

それでは、解説に入っていきましょう。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

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「証明問題」を解く手順

「証明問題」を解く際は以下の手順を踏んで解いていくとよいでしょう。

  1. 証明すべきこと(「結論」)を確認する。
  2. 分かっている情報を図に書き込み「結論」を証明するための道筋を考える。
    このとき、「三角形の合同(条件)」・「三角形の相似(条件)」・「平行四辺形の成立条件」などに注目する。
  3. 道筋ができたら、「証明するのに必要な材料」→「根拠」→「結論」の順に証明を記述する。

面積比の記事において、「逆算思考」の重要性を説きました。

証明問題も同じで、結論を確認し、それを導くためにどうしたらよいかを考えることが大切です。

「証明」の書き方

続いて、「証明」の書き方についてまとめます。

  1. 三角形の合同や相似を示す場合は、注目する三角形を宣言する。
  2. 結論を示すための「材料」を記述する。
    このとき、
    問題で与えられている条件を使うときは「仮定より ○○=××」と書き、
    図形等の性質を用いるときは「(図形等の性質より) ○○=××」と書く。
    また、2つの三角形で1つの辺を共有するときは、「○○は共通」と書く。
  3. 2.を受け、「根拠」→「結論」を述べる

証明の書き方については、上記のようなフォーマットが決まっているので、これを覚えてしまいましょう。

証明問題を解く手順およびその具体的な書き方を例題を通して、みていきます。

例題にチャレンジしてみよう!

次の2問の証明を考えてみましょう。

どちらも教科書等でよく見る問題かと思います。

まずはこれらの証明を書けるようになることが大切です。

【1】の解説

証明方針の検討

この問題で示すべき結論は「AB=AC,∠ABH=∠ACH」ですね。

これを示すための道筋を考えていきましょう。

分かっている情報を図示すると、以下のようになります。

これらの結論を示すには、△ABHと△ACHの合同を示せばよいでしょう。

その証明にあたり、どの合同条件が使えそうでしょうか。

そうすると、情報を書き込んだ図から、「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」が使えそうなことが分かりますね。

これらを踏まえ、証明を書いていきます。

証明の例

△ABHと△ACHにおいて、
仮定より AB=AC   …①
     ∠BAH=∠CAH…②
AHは共通       …③
①~③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABH≡△ACH
よって、AB=AC,∠ABH=∠ACH

この問題では三角形の合同を示しているので、注目する三角形をまず明示します。

次に証明の材料を述べる部分においては、

①と②は問題の条件から分かることを記載しているので「仮定より」と表記しており、

両者でAHが共通であるため、「AHは共通」と明記しています。

ここで材料がそろったので、

適用する三角形の合同条件を述べて△ABHと△ACHが合同であると書き、

その後にこの問題で示したい結論を述べます

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【2】の解説

証明方針の検討

この問題で示すべき結論は「AE=BD」ですね。

これを示すための道筋を考えていきましょう。

分かっている情報を図示すると、以下のようになります。

[中学数学]全くわからない方必見!「証明問題」の解き方を解説!

結論を示すには、これら2つの辺がからんだ△ACEと△BCDの合同を示せばよいでしょう

このとき、AC=BC, CE=CDとなるのは明らかに分かりますね。

そうすると、合同条件として「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」が使えそうです。

ここで、∠ACEと∠BCDに注目すると、

  • ∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+60°
  • ∠BCD=∠BCA+∠ACD=60°+∠ACD

となり、これら2つの角が等しくなるので、「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」が使えます。

これらを踏まえ、証明を書いていきましょう。

証明の例

△ACEと△BCDにおいて、
仮定より AC=BC…①
     CE=CD…②
∠ACE=∠ACD+∠DCE…③
∠BCD=∠BCA+∠ACD
…④
△ACEと△BCDは正三角形なので、∠DCE=∠BCA=60°…⑤
③~⑤より、∠ACE=∠BCD…⑥

①,②,⑥より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ACE≡△BCD
よって、AC=BC

この問題においても三角形の合同を示すので、まず注目する三角形を明示します

AC=BC, CE=CDに関しては問題文から明らかですから「仮定より」と書いて問題ありません。

∠ACE=∠BCDであることを書くのがやや厄介です。

このような場合では、

注目する角を2つの角の足し算で表すどことどこの角度が等しいか述べる注目する角が等しい

という順で書くとよいです。

ですので、まず∠ACE,∠BCDそれぞれを

∠ACE=∠ACD+∠DCE
∠BCD=∠BCA+∠ACD

と、2つの角の足し算で表します。

次に、∠DCE=∠BCA=60°であることを述べます。

このとき、これを導くのに「正三角形の性質」を用いているので、「△ACEと△BCDは正三角形なので」とその前に記述しています。

これらを踏まえて、「③~⑤より、∠ACE=∠BCD…⑥」と述べています。

そして合同条件を述べて△ACE≡△BCDと書き、最後に結論を述べます

このように角度を分解するパターンはよく出てくるため、いま説明した書き方を覚えておくとよいでしょう。

まとめ:[中学数学]全くわからない方必見!「証明問題」の解き方を解説!

いかがでしたか。

今回は、「証明問題」の解き方について解説しました。

証明問題を解く際は、

  1. 証明すべきこと(「結論」)を確認する。
  2. 分かっている情報を図に書き込み「結論」を証明するための道筋を考える。
    このとき、「三角形の合同(条件)」・「三角形の相似(条件)」・「平行四辺形の成立条件」などに注目する。
  3. 道筋ができたら、「証明するのに必要な材料」→「根拠」→「結論」の順に証明を記述する。

という手順を踏むようにしましょう。

また、証明を書くときは、

  1. 三角形の合同や相似を示す場合は、注目する三角形を宣言する。
  2. 結論を示すための「材料」を記述する。
    このとき、問題で与えられている条件を使うときは「仮定より ○○=××」と書き、
    図形等の性質を用いるときは「(図形等の性質より) ○○=××」と書く。
    また、2つの三角形で1つの辺を共有するときは、「○○は共通」と書く。
  3. 2.を受け、「根拠」→「結論」を述べる

を意識しましょう。

引き続き「証明問題」に関する解説を行ってゆくので、お楽しみに。

本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

最後までご一読いただきありがとうございました。

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