[中学数学]入試でよく出る整数問題!「割り算と余り」に関する入試問題を解説!

[中学数学]入試でよく出る整数問題!「割り算と余り」に関する入試問題を解説!中学数学

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回は、「割り算と余り」に関する入試問題を解説していきます。

以前「余り」に関する整数問題の解き方について解説しましたが、今回はそれの実践編です。

そこで解説した解き方を思い出しながら、ぜひ自力で挑戦してみましょう。

また、本記事と合わせて以下の記事もご覧ください。

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2018年度・千葉(後期)・大問5

まずは、2018年度千葉県(後期)の大問5を解説します。

公立高校の入試で、この手の「整数問題」が出題されるのは珍しいです。

なかなか「割り算」の本質を突く良い問題かと思います。

問題はこちらから参照できます。

(1)の解説

\(37÷7=5…2\)ですから、(ア)には5が、(イ)には2が入ります。

これは必ずできて欲しい問題です。

(2)の解説

ここで、「割り算に関する等式」を思い出しましょう。

\(k,m,n,N\)を正の整数とし、\(0≦n<N\)とする。
このとき、\(N\)\(k\)で割ったときの商を\(m\), 余りを\(n\)とすると、
(割られる数)(割る数)×(商)(余り)
つまり、
$$N=km+n$$
が成立する。

いまの場合商が7ですから、\(n\)を余りとして、\(a=7×7+n=49+n\)となりますね。

\(n=0,1,2,3,4,5,6\)となり得るので、求める答えは7個となります。

(3)の解説

まず②の式について見ていきましょう。

\(a\)を7で割ったときの商を\(m\)とすれば、\(a=7m+3\)と置くことができます。

この状態だと、\(a\)を14で割ったときの商が分かりにくいかと思います。

ですので、無理やり14を作り出します

そこで\(k\)を0以上の整数として、\(m=2k,2k+1\)と\(m\)の偶奇で場合分けしてみます。

\(m=2k\)のとき、\(a=7×2k+3=14k+3\)となります。

①より\(k=3\)と分かるので、\(a=42+3=45\)を得ます。

\(m=2k+1\)のとき、\(a=7(2k+1)+3=14k+10\)となります。

①より\(k=3\)となりますので、\(a=42+10=52\)を得ます。

この問題では、いかにして14を作り出すかが肝でした。

(4)の解説

②より、\(p\)を0以上の整数として、\(a=4p+3\)とおけます。

次に①を考えたいのですが、この状況では3で割った余りが分かりにくいですね。

ですので、\(p\)を3で割った余りで場合分けして考えてみることにします。

なお、以下では\(q\)は0以上の整数とします。

\(p=3q\)のとき、\(a=4×3q+3=3(4q+1)\)となって、3で割り切れることとなり不適です。

\(p=3q+1\)のとき、\(a=4(3q+1)+3=3×4q+7=3(4q+2)+1\)となり、3で割ったら確かに余りは1となります

\(p=3q+2\)のとき、\(a=4(3q+2)+3=3×4q+11=3(4q+3)+2\)となり、3で割った余りが2となって不適です。

以上より、\(a=3(4q+2)+1\)という形で表されることが分かります。

\(a\)が2けたの自然数になるのは、\(q=1,2,3,4,5,6,7\)のときですので、答えは7個となります。

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難関私立高で出題された問題も考えてみよう

次は、難関私立高で出題された問題を考えてみましょう。

【1】19で割ると\(n\)余る自然数がある。
この自然数を11倍して1加えた数も19で割ると\(n\)余るという。
このような\(n\)はただ一つあり、\(n\)の値を求めよ。(大阪聖光学院)
【2】724を正の整数\(n\)で割ると9余り、\((n+1)\)で割ると4余る。
このとき、考えられる\(n\)をすべて求めよ。(慶應義塾女子)

【1】の解説

これまでと同じように考えていきましょう。

\(k\)を0以上の整数として、\(N=19k+n\)とおきます。

これを11倍し1加えると、\(11N+1=11(19k+n)+1=11×19k+11n+1\)となります。

これより、\((11N+1)\)を19で割った余りは、\((11n+1)\)を19で割った余りと等しいです。

そうすると、\((11n+1)\)を19で割ると\(n\)余るということですが、

\((11n+1)-n=(10n+1)\)は19で割り切れるということになります。

ですので、\(n\)に0から18までの数を代入し、\((10n+1)\)が19で割り切れるかどうかを確かめればOKです。

そうすると、\(n=17\)が導かれます。

1つのポイントとして、

ある正の整数\(n\)を正の整数\(k\)で割ると、\(l\)余る
\((n-l)\)は\(k\)で割り切れる

ことを覚えておきましょう。

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【2】の解説

余りは割る数よりも小さいので、\(n>9,(n+1)>4\)が成り立つことに注意します。

いま述べたポイントを用いると、

\(724-9=715\)は\(n\)で割り切れ\(724-4=720\)は\((n+1)\)で割り切れることが分かります。

そうすると、\(n\)は715の約数となることが分かります。

ここで、715を素因数分解してみると、\(715=5×11×13\)となります。

そうすると、\(n\)は以下の表にまとめることができます。

\(n\)1511135565143715
\(n+1\)2612145666144716
\((n+1)\)は720を割り切るか××××

ここで冒頭で述べた\(n>9,(n+1)>4\)を考慮すると、\(n=11,143\)が答えとなります。

まとめ:[中学数学]入試でよく出る整数問題!「割り算と余り」に関する入試問題を解説!

いかがでしたか。

今回は、「割り算と余り」に関する入試問題を解説しました。

余りに関する等式をうまく利用しながら、解くことがこの手の問題では大切です。

一度でできなかった問題でも繰り返し解いて、解き方を理解するようにしましょう。

引き続き過去問等の解説を行ってゆくので、お楽しみに。

最後までご覧いただきありがとうございました。

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