![[中学数学]ひとひねりできるかが肝！2022早稲田実業高「関数のグラフと図形の融合問題」を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/09/mathematics-gc1b3d1d8d_1280.png?fit=1280%2C792&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、2022年度に早稲田実業高で出題された「関数のグラフと図形の融合問題」を解説します。
問題自体はよくある設定なのですが、最後の最後でひとひねりができるかがポイントです。
まずは自分で考え、問題に挑戦してみましょう。
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問題の概要
今回解説する問題の概要はこちらです。
放物線\(y=\displaystyle \frac{1}{4}x^2\)…①上に2点A,Bがあり、その\(x\)座標はそれぞれ1,2である。
\(x\)軸上に点P\(\displaystyle(\frac{3}{2},0)\)をとり、直線PAと①の交点で点Aと異なるものを点C、直線PBと①との交点で点Bと異なるものを点Dとするとき、次の各問いに答えよ。
(1)点Dの座標と、直線CDの式を求めよ。
(2)△PAB:△PCDを求めよ。
(3)放物線①上に点Qをとる。△QACの面積が四角形ABDCの面積の\(\displaystyle \frac{1}{2}\)になるとき、Qの座標を求めよ。ただし、Qの\(x\)座標は正とする。
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(1)の解説
直線CDの式を求めるには、点CおよびDの座標が分かればよいことがいえます。
まず点Cの座標を決定します。
直線APの式は、\(y=\displaystyle \frac{0-\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}-1}(x-\frac{3}{2})=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\)となります。
なお、この際「一次関数の決定に関する裏ワザ」を用いました。
よって、\(y=\displaystyle \frac{1}{4}x^2, y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\)を連立させて解いて、\(x=-3,1\)を得ます。
そのため、Cの座標は\(\displaystyle (-3, \frac{9}{4})\)となります。
次に点Dの座標を求めます。
同様にして、直線BPの式は、\(y=\displaystyle \frac{1-0}{2-\frac{3}{2}}(x-\frac{3}{2})=2x-3\)となります。
よって、\(y=\displaystyle \frac{1}{4}x^2, y=2x-3\)を連立させて解いて、\(x=2,6\)を得ます。
そのため、Dの座標は\((6,9)\)となります。
以上より、直線CDの式は、\(y=\displaystyle \frac{9-\frac{9}{4}}{6-(-3)}(x-6)+9=\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}\)と求まります。
(2)の解説
直線ABの傾きは、\(\displaystyle \frac{1-\frac{3}{4}}{2-1}=\frac{3}{4}\)となります。
(1)の結果を踏まえると、ABとCDは平行であることが分かるので、△PABと△PCDは相似です。
よって、相似比はPA:PCとなります。
なお、この比は、(P,Aの\(x\)座標の差):(P,Cの\(x\)座標の差)に一致します。
よって、\(PA:PC=(\frac{3}{2}-1):(\frac{3}{2}+3)=1:9\)となります。
また、相似な図形の面積比は相似比を2乗したものと等しいので、
\(△PAB:△PCD=PA^2:PC^2=1:9^2=1:81\)となります。
(3)の解説
四角形を三角形に変換する
(3)が鬼門です。
この問題においても、四角形だと考えづらいので、等積変形により四角形ABDCを三角形ACRに変換します。
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直線ADに平行で、Bを通る直線と、直線CDの交点をRとします。
直線ADの傾きは、\(\displaystyle \frac{9-\frac{1}{4}}{6-1}=\frac{7}{4}\)より、
直線ADに平行でBを通る直線の式は、\(y=\displaystyle \frac{7}{4}(x-2)+1=\frac{7}{4}x-\frac{5}{2}\)です。
よって、\(y=\displaystyle \frac{3}{4}x+\frac{9}{2}, y=\frac{7}{4}x-\frac{5}{2}\)を連立させて解けば、R\((7,\displaystyle \frac{39}{4})\)が得られます。
最後のひとひねりを忘れない
いきなりこの状態からQの座標を求めるのは難しいです。
ですので、△ACSの面積が△ACRの面積の半分となるように、点Sを線分AR上にとります。
このとき、Sの座標はA,Rの座標の平均をとればよいので、
Sの座標は\(\displaystyle (\frac{1+7}{2},\frac{\frac{1}{4}+\frac{39}{4}}{2})\)より、\((4,5)\)となります。
そして、Qの座標を求めるのに、最後のひとひねりとして、Sを通り直線APに平行な直線を引きます。
この直線と①の交点をQとすれば、等積変形によって、△ACQの面積と△ACSの面積が一致します。
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そうすると、Sを通り直線CPに平行な直線の式は、以下のようになります。
$$y=-\frac{1}{2}(x-4)+5=-\frac{1}{2}x+7$$
よって、\(y=\displaystyle \frac{1}{4}x^2, y=-\frac{1}{2}x+7\)を連立させて解き、\(x=-1\pm \sqrt{29}\)を得ます。
Qの\(x\)座標は正なので、\(x=-1+\sqrt{29}\)となります。
そうすると、Qの\(y\)座標は、\(\displaystyle \frac{(-1+\sqrt{29})^2}{4}=\frac{15-\sqrt{29}}{2}\)となります。
以上より、Q\((-1+\sqrt{29}, \displaystyle \frac{15-\sqrt{29}}{2})\)と求まります。
最後の最後で等積変形を利用し、Qの座標が導出できるかがポイントでした。
まとめ：[中学数学]最後にひとひねりできるかが肝！2022早稲田実業高「関数のグラフと図形の融合問題」を解説！
いかがでしたか。
2022年度に早稲田実業高で出題された「関数のグラフと図形の融合問題」を解説しました。
(3)では2段階で等積変形を用いるのがポイントでした。
この問題においても、等積変形や三角形の相似といった「図形の知識」を活用することが求められておりました。
やはりこの手の問題では、「図形の知識」が活用できないかを検討することが大切です。
今後も過去問の解説を行っていくのでお楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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