[中学数学]入試でよく出る整数問題！「割り算と余り」に関する入試問題を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回は、「割り算と余り」に関する入試問題を解説していきます。

以前「余り」に関する整数問題の解き方について解説しましたが、今回はそれの実践編です。

そこで解説した解き方を思い出しながら、ぜひ自力で挑戦してみましょう。

また、本記事と合わせて以下の記事もご覧ください。

全9回の動画授業で「整数問題」が無敵に！
2018年度・千葉(後期)・大問5
難関私立高で出題された問題も考えてみよう
1. 【1】の解説
2. 【2】の解説
まとめ：[中学数学]入試でよく出る整数問題！「割り算と余り」に関する入試問題を解説！

全9回の動画授業で「整数問題」が無敵に！

「整数問題」は人気難関私立校ではよく出題されるのに、それに特化した参考書はほとんどなく、対策が立てづらいのが現状です。

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2018年度・千葉(後期)・大問5

まずは、2018年度千葉県(後期)の大問5を解説します。

公立高校の入試で、この手の「整数問題」が出題されるのは珍しいです。

なかなか「割り算」の本質を突く良い問題かと思います。

問題はこちらから参照できます。

(1)の解説

$37÷7=5…2$ですから、(ア)には5が、(イ)には2が入ります。

これは必ずできて欲しい問題です。

(2)の解説

ここで、「割り算に関する等式」を思い出しましょう。

$k,m,n,N$を正の整数とし、$0≦n<N$とする。
このとき、$N$を$k$で割ったときの商を$m$, 余りを$n$とすると、
(割られる数)＝(割る数)×(商)＋(余り)
つまり、
$$N=km+n$$
が成立する。

いまの場合商が7ですから、$n$を余りとして、$a=7×7+n=49+n$となりますね。

$n=0,1,2,3,4,5,6$となり得るので、求める答えは7個となります。

(3)の解説

まず②の式について見ていきましょう。

$a$を7で割ったときの商を$m$とすれば、$a=7m+3$と置くことができます。

この状態だと、$a$を14で割ったときの商が分かりにくいかと思います。

ですので、無理やり14を作り出します。

そこで$k$を0以上の整数として、$m=2k,2k+1$と$m$の偶奇で場合分けしてみます。

$m=2k$のとき、$a=7×2k+3=14k+3$となります。

①より$k=3$と分かるので、$a=42+3=45$を得ます。

$m=2k+1$のとき、$a=7(2k+1)+3=14k+10$となります。

①より$k=3$となりますので、$a=42+10=52$を得ます。

この問題では、いかにして14を作り出すかが肝でした。

(4)の解説

②より、$p$を0以上の整数として、$a=4p+3$とおけます。

次に①を考えたいのですが、この状況では3で割った余りが分かりにくいですね。

ですので、$p$を3で割った余りで場合分けして考えてみることにします。

なお、以下では$q$は0以上の整数とします。

$p=3q$のとき、$a=4×3q+3=3(4q+1)$となって、3で割り切れることとなり不適です。

$p=3q+1$のとき、$a=4(3q+1)+3=3×4q+7=3(4q+2)+1$となり、3で割ったら確かに余りは1となります。

$p=3q+2$のとき、$a=4(3q+2)+3=3×4q+11=3(4q+3)+2$となり、3で割った余りが2となって不適です。

以上より、$a=3(4q+2)+1$という形で表されることが分かります。

$a$が2けたの自然数になるのは、$q=1,2,3,4,5,6,7$のときですので、答えは7個となります。

難関私立高で出題された問題も考えてみよう

次は、難関私立高で出題された問題を考えてみましょう。

【1】19で割ると$n$余る自然数がある。
この自然数を11倍して1加えた数も19で割ると$n$余るという。
このような$n$はただ一つあり、$n$の値を求めよ。(大阪聖光学院)
【2】724を正の整数$n$で割ると9余り、$(n+1)$で割ると4余る。
このとき、考えられる$n$をすべて求めよ。(慶應義塾女子)