![[中学数学]正答率6.9%の難問！2022年度神奈川県「関数のグラフと図形の融合問題」を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2023/02/mathematics-gd75f40877_1920.jpg?fit=1920%2C1303&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、2022年度神奈川県「関数のグラフと図形の融合問題」を解説していきます。
今回解説する問題の最後の小問の正答率は6.9%と、なかなかの難問でした。
問題文で言わんとしていることを正確に読み取り、これまで解説してきた考え方を駆使すれば正解できます。
まずは自力で取り組んでみましょう。
また、本記事と合わせて以下の記事も是非ご覧ください。
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問題の概要
今回解説する問題はこちらから参照できます。
問題の解説
問題に書いてある図に情報をまとめると以下のようになります。
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線分ABは\(x\)軸に平行なので、AとBの\(y\)座標は等しくなります。
そのため、AとBは\(y\)軸に対して線対称となるので、Bの\(x\)座標は-6です。
線分BCは\(y\)軸と平行なので、B・D・Cの\(x\)座標はすべて等しく、それは-6となります。
また、DO:DE=6:5ですから、Eの座標は(5,0)と分かります。
これらを踏まえて問題を考えていきます。
(ア)の解説
\(y=ax^2\)はA(6,9)を通るため、\(36a=9\)が成り立ちます。
これを解き、\(\displaystyle a=\frac{1}{4}\)となります。
よって、答えは2です。
(イ)の解説
冒頭の考察より、C(-6,-3)で、E(5,0)であると分かります。
よって、直線CEの式は、裏ワザを用いて以下のように求まります。
$$y=\frac{0-(-3)}{5-(-6)}(x-5)+0=\frac{3}{11}x-\frac{15}{11}$$
したがって、(i)の答えは3で、(ii)の答えは5です。
(ウ)の解説
まず、問題で述べられていることを図で整理しましょう。
直線①は△AFEの面積を二等分するため、(△AFGの面積)=(△AGEの面積)であり、FG:GE=1:1です。
ここで、\(S\)=(△AFGの面積)=(△AGEの面積)とおきます。
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そうすると、
△BGFおよび△CEGの面積を\(S\)を用いて表し、面積比を求める
と考えやすくなります。
それらを求めるにあたって、FとGの座標が分からないといけません。
そこでこれらの座標を求めていきます。
FとGの座標を求める
F\((t,9)\)とおきます。
EとFの中点がGとなりますから、Gの座標は\(\displaystyle(\frac{t+5}{2},\frac{9+0}{2})\)つまり\(\displaystyle(\frac{t+5}{2},\frac{9}{2})\)です。
2点の中点の座標の求め方はこちらで解説しておりますので、合わせてご覧ください。
Gは直線①上の点ですから、\(\displaystyle \frac{t+5}{2}+3=\frac{9}{2}\)が成り立ちます。
これを解いて、\(t=-2\)です。
よって、F\((-2,9)\),G\((\displaystyle \frac{3}{2},\frac{9}{2})\)となります。
これらを用いて、△BGFおよび△CEGの面積を\(S\)で表していきましょう。
△BGF・△CEGの面積を\(S\)を用いて表す
まず、△BGFの面積を\(S\)を用いて表していきます。
Fの\(x\)座標が1と分かっているので、AF:FB={6-(-2)}:{(-2)-(-6)}=2:1です。
そのため、△BGFの面積は△AFGの面積の\(\displaystyle \frac{1}{2}\)倍となります。
したがって、△BGFの面積は\(\displaystyle \frac{1}{2}S\)と表すことができます。
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次に、△CEGの面積を\(S\)を用いて表していきます。
このとき、AG:GCを求める必要があります。
平行線の線分比の関係を用いれば、
AG:GC=(AとGの\(x\)座標の差の絶対値):(GとCの\(x\)座標の差の絶対値)
が成り立ちますので、これを利用してAG:GCを求めていきます。
ですので、AG:GC=\(\displaystyle (6-\frac{3}{2}):\{\frac{3}{2}-(-6)\}=3:5\)です。
△CEGの面積は△AGEの面積の\(\displaystyle \frac{5}{3}\)倍となるので、△CEGの面積は\(\displaystyle \frac{5}{3}S\)となります。
以上より、(△BGFの面積):(△CEGの面積)\(=\displaystyle \frac{1}{2}S:\frac{5}{3}S=3:10\)となります。
まとめ：[中学数学]正答率6.9%の難問！2022年度神奈川県「関数のグラフと図形の融合問題」を解説！
いかがでしたか。
今回は、2022年度神奈川県「関数のグラフと図形の融合問題」を解説しました。
ふたつの図形の面積を直接比較しにくいときは、基準となる三角形を用意し、
それぞれの図形の面積が基準となる三角形の面積の何倍なのかを考えてみることが大切です。
そこに気づくことができれば、(ウ)に関して解答への道筋が見えてくるかと思います。
引き続き過去問等の解説を行ってゆくので、お楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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