[中学数学]コツをつかめば簡単！立体の切断面の描き方と体積の求め方を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回のテーマは、「立体の切断」についてです。

高校入試でも立体を切断し、体積を求めさせる問題がよく出題されますが、苦手な人も多いです。

しかし、立体の切断はコツをつかめれば、取り組みやすくなります。

そこで、立体の切断のコツと切断後の立体の体積を求めるやり方について解説していきます。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

立体の切断面を描くコツは3つ！
切断面を描く問題演習
1. (1)の解説
2. (2)の解説
体積の求め方
体積の例題演習
日ごろの問題演習におすすめの書籍
まとめ：[中学数学]コツをつかめば簡単！立体の切断面の描き方と体積の求め方を解説！

立体の切断面を描くコツは3つ！

立体の切断に関する問題では、まず「切断面」を描くことからスタートします。

そのコツとして、3つのことを覚えておきましょう！

同じ面上の点を結ぶ
平行な面の切り口は平行になる
線分を延長して、大きな三角すいを作る

これらを意識して、次の問題を考えてみましょう。

切断面を描く問題演習

(問1)次の(1),(2)において、立方体ABCD-EFGHを点P,Q,Rを通る平面で切断する。このときの断面を図示せよ。

(1)の解説

いま、点PとQが、点PとRがそれぞれ同じ平面上にあるため、それぞれを線で結びます。

次に、線分PQを延長し、それと直線AEおよび直線EFとの交点をそれぞれA’, F’とします。

また、線分A’Rを延長し、直線EHとの交点をH’とします。

このようにして、大きな三角すいを作っていきます。

そして、点QとS、点SとT、点TとUといった同じ平面上にある点を結んで完成です。

そうすると、この断面は六角形になることが分かります。

(2)の解説

いま、点PとQが同じ平面上にあるため、線で結びます。

次に、線分PQのQ側を延長し、それと直線EFとの交点をF’とします。

面AEFBと面DCGHは平行なので、Rを通り線分PQに平行な線分をひきます。

続いて、線分PQをQ側を延長し、それと直線EFの交点をF’とします。

そして、直線F’Sと線分FGとの交点をTとおきます。

面ABCDと面EFGHは平行なので、点Pを通り線分STに平行な直線をひきます。

そして、同じ面にある点同士を結んで、切断面が完成します。

体積の求め方

もとの立体を切断してできる立体の体積は、

大きな三角すいから、余計な三角すいを引く

ことを意識しましょう。

そこで、次の問題を考えてみましょう。

体積の例題演習

(問2)(問1)(1)の立方体ABCD-EFGHの1辺の長さは$a$である。点P,Q,Rを含む平面でそれを切断したとき、点Aを含む立体の体積を求めよ。
なお、AP:PB=1:1,BQ:QF=2:1,AR:RD=2:1であるとする。

この問題では、

(求める立体の体積)＝(三角すいA’-EF’Hの体積)ー(三角すいA’-APRの体積)
ー(三角すいQ-FF’Sの体積)ー(三角すいU-HTH’の体積)

と求めることができますね。

これをもとに、問題を解いていきます。

△PQBと△F’QFは相似なので、$QB:QF=2:1=PB:F’F$より、
$$F’F=\frac{1}{2}PB$$
となります。

$AP:PB=1:1$より、$PB:AB=1:2$ですから、
$$FF’=\frac{1}{2}×\frac{a}{2}=\frac{a}{4}$$
です。

△AF’Eと△A’PAは相似なので、
$$A’E:A’A=(A’A+a):A’A=EF’:AP=(\frac{a}{4}+a):\frac{a}{2}=5:2$$
より、
$$AA’=\frac{2}{3}a$$
となります。

△A’ARと△A’EH’は相似なので、$A’A:A’E=AR:EH’$であり、
$$AR=\frac{2}{3}a$$
ですから、
$$EH’=\frac{A’E×AR}{A’A}=(a+\frac{2}{3}a)×\frac{2}{3}a×\frac{3}{2a}=\frac{5}{3}a$$

よって、
$$HH’=\frac{5}{3}a-a=\frac{2}{3}a$$となります。

また、△FF’Sと△EF’H’は相似なので$FF’:EF’=FS:EH’$ですから、
$$EF’=a+\frac{a}{4}=\frac{5}{4}a$$
より、
$$FS=\frac{FF’×EH’}{EF’}=\frac{a}{4}×\frac{5}{3}a×\frac{4}{5a}=\frac{1}{3}a$$
となります。

いま、

(三角すいA’-EF’H’)・(三角すいA’-APR)・(三角すいQ-FF’S)・(三角すいU-HTH’)はすべて相似

となります。

また、相似な立体に関して、

2つの立体の相似比が$a:b$であるとき、体積比は$a^3:b^3$となる

という性質があるため、

よって、これら4つの立体の体積比は

\begin{eqnarray}
EH’^3:AR^3:FS^3:HH’^3&=&(\frac{5}{3}a)^3:(\frac{2}{3}a)^3:(\frac{1}{3}a)^3:(\frac{2}{3}a)^3\\
&=&125:8:1:8
\end{eqnarray}

となり、三角すいA’-EF’Hと求める立体の体積比は
$$125:\{125-(8+1+8)\}=125:108$$
となります。

以上から、三角すいA’-EF’H’の体積から求める立体の体積を間接的に計算すると、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×EF’×EH’×A’E×\frac{108}{125}\\
=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{5}{4}a×\frac{5}{3}a×\frac{5}{3}a×\frac{108}{125}=\frac{1}{2}a^3
\end{eqnarray}
となります。