[中学数学]知っておくと便利！空間図形の「裏ワザ」を一挙ご紹介！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回の記事では、知っておくと便利な「空間図形の裏ワザ」について解説していきます。

正四面体を背景とした問題や切断された立方体の体積を求める問題などはよく出題されます。

これらは実は裏ワザを知っておくとすぐに解けてしまうのも事実です。

空間図形の問題は解くのに時間がかかるため、試験で時短できるテクニックをいくつかご紹介します。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

「正四面体」に関する裏ワザ
四面体の体積比
斜めに切断された直方体の体積
日々の問題演習におすすめの書籍
まとめ：[中学数学]知っておくと便利！空間図形の「裏ワザ」を一挙ご紹介！

「正四面体」に関する裏ワザ

「正四面体」に関する裏ワザとして以下のことを覚えておくとよいでしょう。

1辺の長さが$a$である「正四面体」において、以下が成立する。

正四面体の体積＝$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
正四面体に内接する球の半径の長さ＝$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{12}a$
正四面体の各頂点を通る球の半径の長さ＝$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}a$

これらの公式がどう導かれるか説明します。

1辺の長さが$a$である正四面体O-ABCの点Oから垂線を引くと、正四面体の対称性よりその足であるHは線分AM上に位置します。(Mは線分BCの中点)

また、正四面体の対称性より、線分ABの中点をKとすると、HはAMとCKの交点となります。

このとき、$CM=\displaystyle \frac{a}{2}$であり、三平方の定理から、
\begin{gather}
AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a
\end{gather}
です。

ここで、メネラウスの定理を用いると、
\begin{gather}
\frac{CB}{CM}×\frac{KA}{BK}×\frac{HM}{AH}=1\\
\frac{2}{1}×\frac{1}{1}×\frac{HM}{AH}=1\\
AH:HM=2:1
\end{gather}
を得ます。

また、以下のように△OAMでメネラウスの定理を用いると、
\begin{gather}
\frac{MA}{MH}×\frac{NO}{AN}×\frac{PH}{OP}=1\\
\frac{3}{1}×\frac{1}{1}×\frac{PH}{OP}=1\\
OP:PH=3:1
\end{gather}
を得ます。

$AH=\displaystyle \frac{2}{3}AM=\frac{\sqrt{3}}{3}a$より、三平方の定理から、
$$OH^2=\sqrt{OA^2-AH^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$$
となります。

内接する球の半径の長さは、PHに等しいので、
$$PH=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{6}}{12}a$$
であり、各頂点を通る球の半径の長さは、OPに等しいので、
$$PH=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{6}}{4}a$$

最後に、正四面体の体積は、
$$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×CK×OH=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$$
と求まります。