[中学数学]どんな問題でも解ける！「規則性」の解き方のコツを解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです！

中学数学の中で、「規則性」がかなりやっかいです。

高校受験において、全く見たことがない問題としてしばしば登場するからです。

このような経験のない問題に対して、どのように立ち向かっていけばよいのでしょうか。

今回の記事では、規則性の問題の解き方のコツについて解説していきます。

本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

全6回の動画授業で「規則性」が無敵に！
「規則性」の問題への基本的なアプローチ
例題1.かぞえ棒に関する問題
1. 実験結果を表に書き出す
2. 具体から一般化へ
例題2.自然数をピラミッド状に並べる規則性に関する問題
まとめ：[中学数学]どんな問題でも解ける！「規則性」の解き方のコツを解説！

全6回の動画授業で「規則性」が無敵に！

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「規則性」の問題への基本的なアプローチ

まず、「規則性」の問題への基本的なアプローチについて説明します。

具体的な数値を用いて実験する
実験の結果から、「規則性」を見出して一般化する(文字で表す)
このとき、よくある規則性は「変化量が一定」・「2乗した数」・「周期性」である

これらを念頭に置き、2つの例題に取り組んでみましょう。

例題1.かぞえ棒に関する問題

例えば、こんな問題を考えてみましょう。

(問1) かぞえ棒を用いて、以下の図のように正方形を作ってゆく。このとき、$n$個の正方形を作るのに必要なかぞえ棒の本数を$n$を用いて表せ。

中学の定期試験でよく出る問題でもあり、高校受験でも出たりする問題ですね。

解法の定石に従い、まずは具体的な数値から実験していきます！

実験結果を表に書き出す

とりあえず実験をして、その結果を表にしてまとめてゆくと状況をつかみやすくなります。

まず、3個までは以下のような表が作れます。

正方形の個数	1	2	3
かぞえ棒の本数	4	7	10

引き続き、正方形の個数を増やしていきます。

4個の正方形を作るためには、3個の正方形に3本のかぞえ棒を追加すればよいですね。

5個の正方形を作るためには、4個の正方形に3本のかぞえ棒を追加すればよいですね。

どうですか、何か規則性が見えてきましたか？

これまでの流れを表にまとめると以下のようになります。

正方形の個数	1	2	3	4	5
かぞえ棒の本数	4	7	10	13	16

正方形の個数が1つ増えると、かぞえ棒の本数が3本増えることが分かります。

具体から一般化へ

さて、ここから$n$個の正方形ができるときのかぞえ棒の個数を考えていきます。

といってもいきなり$n$個の場合を考えるのは大変なので、具体的な数値から考えていきます。

正方形の個数が1つ増えると、かぞえ棒の本数が3本増えることを踏まえると、

正方形の個数が1つの場合・・・本数は4本
正方形の個数が2つの場合・・・本数は4+3=7本
正方形の個数が3つの場合・・・本数は4+3+3=10本
正方形の個数が4つの場合・・・本数は4+3+3+3=13本
正方形の個数が5つの場合・・・本数は4+3+3+3+3=16本

となってゆきますね。

これらの結果から、3を足す個数が規則的に変化しているのが分かりますか？

正方形の個数が1つの場合・・・3を0回足している
正方形の個数が2つの場合・・・3を1回足している
正方形の個数が3つの場合・・・3を2回足している
正方形の個数が4つの場合・・・3を3回足している
正方形の個数が5つの場合・・・3を4回足している

つまり、3を(正方形の個数-1)回だけ足していることが分かりますね。

このことから、もし正方形の個数が$n$個だとしたら、

必要なかぞえ棒の本数は

$3(n-1)+4=3n+1$

と求まることになります。

いきなり$n$個のときを考えるのは難しいですが、

具体的な数値から実験をして、そこから分かったことを一般化する

ことが規則性の問題では大切です。

(規則性に限らず、難関大でよく出題される整数問題などにおいてもこの考え方は大切です)

例題2.自然数をピラミッド状に並べる規則性に関する問題

いまの正方形の問題はよく出てくる問題ですね。

一方で、規則性に関する問題では自然数をピラミッド状に並べる関する問題もよく出題されます。

次の問題を考えてみましょう。

(問2) 自然数を以下のように順にならべてゆくとき、$n$段目の左から$m$番目にある数は何か。

端っこの数に注目する

このような問題では、端っこにある数を一般化できないか(文字を使って表せないか)考えてみましょう。

今回は左端に注目し、実験して各段の左端の数を以下の表にまとめてみます。

段数	1	2	3	4	5
各段の左端にある自然数	1	2	4	7	11

各段の左端の数同士の規則性を見出す

先ほどの表からどのような規則性が見出せるでしょうか。

2段目の左端は、(1段目の左端)+1したものであると考えることができます。

同様に考えてゆくと、

3段目の左端
＝(2段目の左端)+2
=(1段目の左端)+1+2
=1+(1+2)
4段目の左端
＝(3段目の左端)+3
=(1段目の左端)+1+2+3
=1+(1+2+3)
5段目の左端
=(4段目の左端)+4
=(1段目の左端)+1+2+3+4
=1+(1+2+3+4)

となっていることに気が付きます。

ということは、$n$段目の左端の数は、

$$1+{1+2+…+(n-2)+(n-1)}$$

となることが分かります。

$1+2+…+(n-2)+(n-1)$の値が計算できれば、$n$段目の左端の数は求まりますね。

果たして、この足し算はどのようにして処理すればよいのでしょうか。

前と後ろでペアを作って足してゆく

いま、

$S=1+2+…+(n-2)+(n-1)$…①

とおきます。

もちろん、足す順番を変えただけである次の式も成立しますよね。

$S=(n-1)+(n-2)+…+2+1$…②

このときに、後ろから足してゆくことがポイントです。

①と②の辺々を足してみます。

右辺を上下に足し算すると、すべて$n$になることに気づきましたか？

そうすると、

$2S=n(n-1)$という式が得られます。(右辺では$n$が$(n-1)$回出てきます)

よって、
$$S=\frac{n(n-1)}{2}$$
となります。

このように、足し算の前と後ろでペアを作って足してゆくと非常に計算しやすくなります。

したがって、$n$段目の左端の数は以下のようになります。
$$1+\frac{n(n-1)}{2}$$

$n$段目の左から$m$番目の数を求める

今までの話から、$n$段目の左端の数は

$$1+\frac{n(n-1)}{2}$$

と求められましたね。

ここまで来れば、左から$m$番目の数を求めることができます。

各段には連続する自然数が並ぶので、

(左から$m$番目の数)=(左端の数)+$(m-1)$

となりますね。

よって、求める答えは

$$1+\frac{n(n-1)}{2}+(m-1)=m+\frac{n(n-1)}{2}$$

となります。

まとめ：[中学数学]どんな問題でも解ける！「規則性」の解き方のコツを解説！

いかがでしたか。規則性の問題では解き方のコツとして

具体的な数値を用いて実験する
実験の結果から、「規則性」を見出して一般化する(文字で表す)
このとき、よくある規則性は「変化量が一定」・「2乗した数」・「周期性」である

ことがポイントでした。