![[中学数学]対称性がカギ！2019青山学院高等部「正四角すい」の問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/09/mathematics-gd5567081a_1920.jpg?fit=1920%2C602&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、2019年度青山学院高等部の「正四角すい」の問題を解説していきます。
この問題は「正四角すいの切断」が背景となっています。
なお、「正四角すいの切断」に関しては実は裏ワザがあることが知られています。
それを含め、これまで解説してきた解き方を駆使して、解いていきたいと思います。
また、本記事と合わせて以下の記事も是非ご覧ください。
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問題の概要
問題の概要は以下の通りです。
底面が1辺\(2\sqrt{2}\)cmの正方形BCDEで、
AB=AC=AD=AE=4cmの正四角すいA-BCDEがある。
2辺AC, AEを2:1に分ける点をそれぞれP, Qとし、
3点B,P,Qを通る平面とADの交点をRとする。
(1)線分ARの長さを求めよ。
(2)△AQPの面積を求めよ。
(3)三角すいR-PDQの体積を求めよ。
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(1)の解説
解答方針
空間図形の解法の定石である「対称面での切断」ができないか検討してみましょう。
このとき、
ことがいえます。
そうすると、△ABDを含む平面と△ACEを含む平面が対称面です。
ここで、この正四角すいを△ABDを含む平面で切断したときの断面図を示します。
なお、BRとPQの交点をOとし、Aから底面の正方形に下ろした垂線の足をHとします。
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なお、点Hに関して、AB=AC=AD=AEなので、三平方の定理から、
- \(BH^2=AB^2-AH^2, HD=AD^2-AH^2\)つまり、\(BH=HD\)
- \(CH^2=AC^2-AH^2, HE=AE^2-AH^2\)つまり、\(CH=HE\)
→ 点Hは正方形BCDEの対角線の交点である
ことがわかり、BH:HD=1:1です。
以上より、メネラウスの定理より、
$$\frac{HD}{BH}×\frac{RA}{DR}×\frac{OH}{AO}=1$$
$$\frac{2}{1}×\frac{RA}{DR}×\frac{OH}{AO}=1$$
となり、OH:AOが求まれば、ARの長さが求まることが分かります。
ですので、この値を求めていきましょう。
△ACEを含む平面で切断
△ACEを含む平面で切断したときの断面を以下に示します。
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このとき、AP:PC=AQ:QE=2:1なので、PQとCEは平行となります。
よって、AO:OH=2:1となります。
以上より、
$$\frac{2}{1}×\frac{RA}{DR}×\frac{OH}{AO}=1$$
$$\frac{2}{1}×\frac{RA}{DR}×\frac{1}{2}=1$$
$$\frac{RA}{DR}=\frac{1}{1}$$
となり、RA:DA=1:1となるため、\(AR=\displaystyle \frac{1}{2}AD=2\)となります。
正四角すいの切断に関する裏ワザ
ここで、正四角すいの切断に関する裏ワザをご紹介します。
正四角すいA-BCDにおいて、
\(AI=x, AJ=y, AK=z, AL=w\)とすると、以下の等式が成り立つ
\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{w}\)
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つまり、向かい合う辺の逆数を足すというのがポイントです。
今回の問題では、\(x=4, \displaystyle y=w=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}\)であるから、
$$\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{1}{4}+\frac{1}{z}$$
より、\(z=2\)と求めることもできます。
(2)の解説
三平方の定理から、\(\displaystyle CH=2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}=2\),
\(OH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\)となります。
よって、△ACEの面積は、\(\displaystyle \frac{1}{2}×CE×OH=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)です。
いま、△ACEと△APQは相似であり、相似比はAP:AC=2:1ゆえ、△APQの面積は、
$$△ACE×(\frac{2}{3})^2=\frac{16\sqrt{3}}{9}$$
と求まります。
(3)の解説
この問題では、どの面を底面と考えるのかがポイントとなります。
△DQRが、元の正四角すいの側面である△ADEを含む平面上にあるため、これを底面として考えます。
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このとき、△DQRの面積と△ADEの面積の比は
\begin{eqnarray}
△DQR&=&△ADE×\frac{AQ}{AE}×\frac{RD}{AD}\\
&=&△ADE×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}\\
&=&\frac{1}{3}×△ADE
\end{eqnarray}
となります。
また、三角すいR-PDQと三角すいC-ADEの高さの比は、AP:AC=2:3です。
以上から、
(三角すいR-PDQの体積):(三角すいC-ADEの体積)
\(=AP×△DQR:AC×△ADE=2:9\)
となります。
ここで、三角すいC-ADEはもとの正四角すいの体積の半分となるので、その体積は、
$$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×BC×CD×OH=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$
となります。
以上より求める答えは、
$$\frac{8\sqrt{3}}{3}×\frac{2}{9}=\frac{16\sqrt{3}}{27}$$
となります。
まとめ：[中学数学]対称性がカギ！2019青山学院高等部「正四角すい」の問題を解説！
いかがでしたか。
2019年度青山学院高等部の「正四角すい」の問題を解説しました。
この問題においても、「対称性」に着目できるかが問われていました。
立体の問題では、「対称性」に注目するのが定石ですから、解答方針を立てる際はまずこれが利用できないかを考えることが大切です。
引き続き、過去問の解説を行っていくのでお楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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