![[中学数学]相似な三角形を見つけよう！2022年度奈良県「円と相似」の難問を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/11/color-g66dc36b90_1280.png?fit=1280%2C853&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、2022年度奈良県で出題された「円と相似」の難問を解説していきます。
例年、奈良県の「平面図形」の問題は難しいと私個人は感じています。
今回はそのうちの大問4を解説していきますが、
(1),(2)の正答率は5割を超えていたのに対して、(3),(4)の正答率はそれぞれ2.0%, 0.0%と極めて低いものでした。
とはいえ、これまで解説してきたように考えることができれば、(3),(4)の答えに辿り着けるはずです。
入試への対策としてはよい問題ですから、まずは自分で考えてみてから下の解説を読んでみてください！
問題はこちらから参照できます。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
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図に情報を書き込んでみよう
まず問題で与えられている情報を図に書き込んでみましょう。
![[中学数学]相似な三角形を見つけよう！2022年度奈良県「円と相似」の難問を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/11/2022_奈良_相似.png?resize=1024%2C970&ssl=1)
- △ABDは二等辺三角形より、∠ABD=∠ADB
- 弧ADに対する円周角は等しいので、∠ABD=∠ACD
- 弧ABに対する円周角は等しいので、∠ADB=∠ACB
- BCとAFは平行ゆえ錯角は等しいので、∠ACB=∠GAE
以上より、∠ABD=∠ADB=∠ACD=∠ACB=∠GAE
そうすると、(1)の答えはこの図より、\(2a°\)と分かります。
また、この図より、△AEFと△CEBは次のように証明できます。
(証明)
△AEFと△CEBにおいて、
対頂角は等しいので、∠AEF=∠CEB…①
BCとAFは平行ゆえ錯角は等しいので、∠EAF=∠ECB…②
①と②より、2組の角がそれぞれ等しいので、△AEF∽△CEB
(Q.E.D.)
(1)・(2)は必ず正解してほしい問題でした。
(3)の解説
いよいよ、圧倒的な難易度を誇る(3)・(4)を考えてゆきます。
まずは、(3)です。
(△AEBと△BCEの面積比)=AE:ECとなりますから、以下AE:ECを求めてゆきます。
辺の比を求めるときは、まず「相似な三角形」の活用を思い出しましょう。
そうすると、2組の角がそれぞれ等しいので、△ABCと△AEBが相似であることが分かります。
したがって、AB:AE=AC:ABが成り立つため、\(AE=\displaystyle \frac{9}{2}\)cmとなります。
また、\(EC=AC-AE=8-\displaystyle \frac{9}{2}=\frac{7}{2}\)cmです。
以上から、AE:EC=9:7となり、△ABEの面積は△BCEの面積の\(\displaystyle \frac{9}{7}\)倍となります。
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(4)の解説
冒頭で示した図から、△ABDと△GACが相似であることが分かります。
そのため、AB:GA=BD:ACとなります。
いま、AB=6cm, AC=8cmと分かっているので、あとはBDの長さが分かればAGの長さが導けます。
ですので、以下ではBDの長さを求めてゆきましょう。
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BD=BE+EDですから、BE, EDそれぞれの長さが分かればよいですね。
BEの長さに関しては、(3)で△ABCと△AEBが相似であることが分かっているので、
BC:EB=AC:ABより、BE=3cmです。
次に、EDの長さを考えましょう。
2組の角がそれぞれ等しいので、△AEDと△BECは相似となります。
よって、ED:EC=AD:BCが成り立ちます。
(3)より\(EC=\displaystyle\frac{7}{2}\)cmであり、AD=AB=6cm, BC=4cmですから、
\(ED=\displaystyle \frac{21}{4}\)cmとなります。
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したがって、\(BD=BE+ED=3+\displaystyle \frac{21}{4}=\frac{33}{4}\)cmとなります。
以上より、AB:GA=BD:ACなので、\(AG=\displaystyle \frac{64}{11}\)cmと求まります。
まとめ：[中学数学]相似な三角形を見つけよう！2022年度奈良県「円と相似」の難問を解説！
いかがでしたか。
今回は、2022年度奈良県で出題された「円と相似」の難問を解説しました。
(3)および(4)は非常に難易度が高い問題ですが、
「相似な三角形」に注目できれば、解答への道筋を立てることができるかと思います。
引き続き過去問等の解説を行ってゆくので、お楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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