![[大学入試]中学生でも解ける！早稲田大学理工3学部数学「2次式の決定」に関する問題を解説！](https://i0.wp.com/you-can-blog.com/wp-content/uploads/2022/10/university-g1f381c06f_1920.jpg?fit=1920%2C1280&ssl=1)
みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
今回は、早稲田大学理工3学部の数学「2次式の決定」に関する問題を解説していきます。
類題として、名古屋大学の問題を以前解説しましたが、それと比べればかなり解きやすいかと思います。
ここで求められる考え方もこれまでと一緒ですから、ぜひ挑戦してみてください！
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
問題演習をいくらこなしても未知の問題が解けるようにならないとお困りではありませんか。
未知の問題に立ち向かうには、思考の「型」を身に付ける必要があります。
思考の「型」を解説した書籍をAmazonで販売中。
Kindle Unlimitedなら、追加料金なしで閲覧可能。
「MARCH付属校をはじめとした人気難関私立校を志望しているが、対策が立てづらい・・・」
「解説を読んで『理解』できても、自力で『解けない』・・・」
などでお悩みではありませんか。
公立からMARCH付属校対策までをすべてを網羅する「裏ワザ」を解説中！
難関校を目指す方におすすめの問題集
高校入試対策で、整数問題を攻略したい方には次の問題集がおすすめです。
高校入試の整数問題に特化した問題集はあまりありませんが、
この1冊をこなせば難関私立校に対応できる力をしっかりと養うことができます。
難関私立校を受験される方にはおすすめの1冊です。
最難関私立校を受験される方には、「最高水準問題集」もおすすめです。
全国の難関私立国立高校の入試から厳選して演習価値の高い問題が収録されており、
よく出る問題には「頻出」マークがついているなど入試で出やすい問題から対策できるなど、入試本番に向けて効率的に最高レベルの学力を養うことができます。
問題の概要
早稲田大学理工3学部の数学で出題された次の問題に挑戦してみましょう。
\(p,q\)を相異なる素数とする。次の3条件を満たす\(x\)の2次式\(f(x)\)を考える。
- 係数はすべて整数で、\(x^2\)の係数は1である。
- \(f(1)=pq\)である。
- 方程式\(f(x)=0\)は整数解をもつ。
以下の問に答えよ。
(1)\(f(x)\)をすべて求めよ。
(2)(1)で求めたものを\(f_1(x),f_2(x),…,f_m(x)\)とする。
\(2m\)次方程式\(f_1(x)×f_2(x)×…×f_m(x)=0\)の相異なる解の総和は\(p,q\)によらないことを示せ。
(1)の解説
\(f(x)\)をどう置く？
この問題は、初手が大切です。
\(f(1)=pq\)であるという条件がありますから、\(f(x)\)を因数分解された形でおくと考えやすくなるかと思います。
\(x^2\)の係数は1ですから、\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)\)とおくことができます。
そうすると、2次方程式\(f(x)=0\)の解は、\(x=\alpha,\beta\)となります。
ここで2次方程式\(f(x)=0\)が整数解をもつという条件から、\(\alpha\)を整数としましょう。
そうすると、\(\beta\)は整数になるのかそうでないのかのどちらでしょうか。
\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta\)となりますね。
\(f(x)\)の係数はすべて整数ですから、当然\(x\)の係数も整数となります。
\(\alpha\)は整数ですから、\(x\)の係数が整数になるためには、\(\beta\)も整数である必要があります。
以上を踏まえ、\(f(1)=pq\)という条件を考えていきます。
整数問題で「おなじみ」の議論に帰着させる
\(\alpha≧\beta\)そして\(p>q\)としても一般性を失わないので、以下そのように考えることにします。
そうすると、\(f(1)=pq\)より、
\((1-\alpha)(1-\beta)=pq\)という整数問題でおなじみの「因数分解」された形での議論ができることになりますね。
\(p,q\)が相異なる素数であることより、考えられる\((1-\alpha,1-\beta)\)の組は以下の通りです。
なお、\(\alpha≧\beta\)より\(1-\beta≧1-\alpha\),
そして、\(p>q\)より\(-q>-p\)であることに注意します。
$$(1-\alpha,1-\beta)=(1,pq),(q,p),(-pq,-1),(-p,-q)$$
よって、\((\alpha,\beta)\)の組は以下のように求まります。
$$(\alpha,\beta)=(0,1-pq),(1-q,1-p),(1+pq,2),(p+1,q+1)$$
以上から、\(f(x)\)は以下の4つとなります。
\begin{eqnarray}
f(x)=x(x+pq-1),(x+p-1)(x+q-1),\\
(x-2)(x-pq-1),(x-p-1)(x-q-1)
\end{eqnarray}
(2)の解説
(1)の結果より、\(2m\)次方程式\(f_1(x)×f_2(x)×…×f_m(x)=0\)は、
\begin{eqnarray}
x(x+pq-1)(x+p-1)(x+q-1)(x-2)(x-pq-1)(x-p-1)(x-q-1)=0
\end{eqnarray}
となりますね。
この方程式の解は、左辺が因数分解されており、
2次方程式と同様にそれぞれの因数が0になればよいので、
\(x=0,1-pq,1-p,1-q,2,1+pq,p+1,q+1\)となります。
いま、\(p>q(≧2)\)と考えていますので、
\(1-pq<1-p<1-q<0<2<q+1<p+1<1+pq\)
となって、それぞれが相異なる整数であるといえます。
そして、これらをすべて足し合わせると8となり、解の総和は\(p,q\)によらないことがいえます。
(1)ができれば、(2)はスムーズに解けるかと思います。
[大学入試]中学生でも解ける！早稲田大学理工3学部数学「2次式の決定」に関する問題を解説！
いかがでしたか。
今回は、早稲田大学理工3学部の数学「2次式の決定」に関する問題を解説しました。
初手を間違えると議論が面倒になるものの、先を見据えて適切に2次式をおくことができれば、
あとは整数問題でおなじみの議論に持ち込むだけです。
そうすれば中学生でも正解できる問題であるので、整数問題のトレーニングとして演習価値のある問題かと思います。
引き続き、過去問の解説を行っていくのでお楽しみに。
最後までご覧いただきありがとうございました。
また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。
コメント