[中学数学]思考力が試される良問！灘高校で出題された「整数問題」を解説！

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。

今回は、灘高校で出題された「整数問題」を解説していきます。

なかなか一筋縄ではいかない問題ばかりであり、思考力が試される構成となっています。

ここまで解けるようになれば、実力がかなり仕上がってきているといえるでしょう。

腕試しとして是非挑戦してみてください。

また、本記事と合わせて以下の記事もぜひご覧ください。

難関校を目指す方におすすめの問題集
問題の概要
Ⅰ.の解説
1. (1)の解説
2. (2)の解説
  1. (i)の解説
  2. (ii)の解説
Ⅱ.の解説
1. (1)の解説
2. (2)の解説
  1. 4桁の数をどのように文字で置く？
  2. 3,13を素因数に持つかに注目し、$M$の下1桁を場合分けして答えを導く
まとめ：[中学数学]思考力が試される良問！灘高校で出題された「整数問題」を解説！

難関校を目指す方におすすめの問題集

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問題の概要

灘高校で出題された次の「整数問題」に挑戦してみましょう。

Ⅰ. 次の問に答えよ。$p$は3以上の素数とする。
(1)$ab=2p$を満たす正の整数$(a,b)$の組はすべてで何組あるか。
(2)$x,y$は正の整数で、$2x^2-2y^2-x+y-2p=0$を満たす。このとき、
(i)$(x-y)$の値を求めよ。
(ii)さらに、$\displaystyle \frac{x}{y}$が正の整数であるとき、$(x,y,p)$の組をすべて求めよ。

Ⅱ. 次の問に答えよ。
(1)$x,y$を1桁の正の整数とするとき、$x(10-x)=3y$を満たす$(x,y)$の組をすべて求めよ。
(2)4桁の正の整数で、上2桁の数の2乗と、下2桁の整数の40倍との和がもとの4桁の整数に等しいものをすべて求めよ。

Ⅰ.の解説

(1)の解説

$a,b$は正の整数で、$p$は素数なので、考えられる$(a,b)$の組は、以下の4つです。

よって、答えは4組となります。

$$(a,b)=(1,2p),(2,p),(p,2),(2p,1)$$

(2)の解説

(i)の解説

ここで、「整数問題」の解法の定石を思い出しましょう。

$(2x^2-2y^2-x+y)$が因数分解できそうなので、解法の定石に則り、因数分解してみましょう。

\begin{gather}
2x^2-2y^2-x+y-2p=0\\
2(x^2-y^2)-(x-y)=2p\\
(x-y)\{2(x+y)-1\}=2p\\
\end{gather}

となります。

ここで、$2(x+y)-1$に注目すると、明らかにこれは奇数と分かります。

また、$x,y$は正の整数なので、$2(x+y)-1≧2×(1+1)-1=3$がいえます。

$p$は3以上の素数ゆえ奇数であり、(1)の結果を踏まえると、$(x-y,2(x+y)-1)=(2,p)$と決まります。

よって、$x-y=2$です。

(ii)の解説

(i)より、$x-y=2$が得られました。

これを利用して、問題を解いていきましょう。

いま、$\displaystyle \frac{x}{y}$が整数であるから、

$x-y=2$の両辺を$y$で割って、$\displaystyle \frac{x}{y}$を出現させましょう。

両辺を$y$で割って整理すると、$\displaystyle \frac{x}{y}=1+\frac{2}{y}$となります。

この等式より、左辺の$\displaystyle \frac{x}{y}$が整数なので、右辺も整数でなければなりません。

ですので、$\displaystyle \frac{2}{y}$も整数である必要があります。

$y$は正の整数なので、$y=1,2$と決まります。

そうすると、$(x,y)=(4,2),(3,1)$となります。

(i)より、$p=2(x+y)-1$であるため、答えは、$(x,y,p)=(4,2,11),(3,1,7)$となります。

この問題では、

分数式が整数になる条件を考えられるか

が肝でした。

この絞り込みは他の問題でも利用できることもあるので、是非覚えておきましょう。

Ⅱ.の解説

(1)の解説

この問題は$x=1,2,…,9$を順に代入し、$y$が整数になるかどうかを調べればOKです。

そうすると、答えとして、以下が得られます。

$$(x,y)=(1,3),(3,7),(4,8),(6,8),(7,7),(9,1)$$

(2)の解説

4桁の数をどのように文字で置く？

それでは(2)を考えましょう。

この問題はなかなか一筋縄ではいかず、非常に難しいです。

この問題のポイントは、4桁の数をどう置くかにあります。

例えば、

千の位を$a$・百の位を$b$・十の位を$c$・一の位を$d$として、

$(1000a+100b+10c+d)$としたくなりますね。

しかしこのようにしてしまうと、未知数が4つとなり扱いにくく、問題が考えづらくなってしまいます。

そこで、4桁の数を2桁ずつ区切り、上2桁の数を$M$、下2桁の数を$N$と置いてみます。

そうすると、この4桁の数は$(100M+N)$と表すことができます。

例えば、5625=56×100+25, 1939=19×100+39と表されます。

これをもとに考察を進めていきましょう。

3,13を素因数に持つかに注目し、$M$の下1桁を場合分けして答えを導く

問題で与えられている条件を式に表すと、$M^2+40N=100M+N$となります。

これを整理すると、$M(100-M)=39N$となります。

$M(100-M)=39N=3×13×N$であるため、$M(100-M)$は3,13で割り切れる必要があります。

また、$M$の下1桁の数を$m$とし、上記の事実に注意しながら$m$の値で場合分けして考えていきます。

$m=1$のとき、$(M,100-M)=(91,9),(61,39)$が考えられ、
$(M,100-M)=(91,9)$のとき、$N=\displaystyle \frac{91×9}{39}=21$より、9121が得られます。
$(M,100-M)=(61,39)$のとき、$N=\displaystyle \frac{61×39}{39}=61$より、6161が得られます。
$m=2$のとき、$(M,100-M)=(52,48),(22,78)$が考えられ、
$(M,100-M)=(52,48)$のとき、$N=\displaystyle \frac{52×48}{39}=64$より、5264が得られます。
$(M,100-M)=(22,78)$のとき、$N=\displaystyle \frac{22×78}{39}=44$より、2244が得られます。
$m=3$のとき、$(M,100-M)=(13,87)$が考えられ、
$N=\displaystyle \frac{13×87}{39}=29$より、1329が得られます。
$m=4$のとき、考えられる$M$は存在しません。
$m=5$のとき、考えられる$M$は存在しません。
$m=6$のとき、考えられる$M$は存在しません。
$m=7$のとき、$(M,100-M)=(87,13)$が考えられ、
$N=\displaystyle \frac{87×13}{39}=29$より、8729が得られます。
$m=8$のとき、$(M,100-M)=(48,52),(78,22)$が考えられ、
$(M,100-M)=(48,52)$のとき、$N=\displaystyle \frac{48×52}{39}=64$より、4864が得られます。
$(M,100-M)=(78,22)$のとき、$N=\displaystyle \frac{78×22}{39}=44$より、7844が得られます。
$m=9$のとき、$(M,100-M)=(39,61)$が考えられ、
$N=\displaystyle \frac{39×61}{39}=61$より、3961が得られます。